Пример проверки гипотезы вычисления вероятности

Важной частью логической статистики является проверка гипотез. Как и при изучении всего, что связано с математикой, полезно проработать несколько примеров. Далее рассматривается пример проверки гипотезы и вычисляется вероятность ошибки типа I и II.

Предположим, что простые условия выполнены. Более конкретно, мы будем предполагать, что у нас есть простая случайная выборка от населения, которое либо нормально распределенный или имеет достаточно большой размер выборки, чтобы мы могли применить Центральная предельная теорема. Мы также будем предполагать, что мы знаем стандартное отклонение населения.

Мешок с картофельными чипсами упакован по весу. Всего было куплено девять мешков, взвешено, и средний вес этих девяти сумок составляет 10,5 унций. Предположим, что стандартное отклонение совокупности всех таких пакетов с чипсами составляет 0,6 унции. Заявленный вес на всех упаковках составляет 11 унций. Установите уровень значимости на уровне 0,01.

Поддерживает ли выборка гипотезу о том, что истинное среднее значение составляет менее 11 унций?

У нас есть тест с нижним хвостом. Это видно из заявления нашего нулевые и альтернативные гипотезы:

• ЧАС₀: μ=11.
• ЧАС: μ < 11.

Статистика теста рассчитывается по формуле

Z = (Икс-бар - μ₀)/(σ/√N) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.

Теперь нам нужно определить, насколько вероятно это значение Z из-за одного случая. Используя таблицу Z- мы видим, что вероятность того, что Z меньше или равно -2,5, равно 0,0062. Поскольку это значение р меньше, чем уровень значимостиМы отвергаем нулевую гипотезу и принимаем альтернативную гипотезу. Средний вес всех пакетов с чипсами составляет менее 11 унций.

Какова вероятность ошибки типа I?

Ошибка типа I возникает, когда мы отвергаем нулевую гипотезу, которая верна. Вероятность такой ошибки равна уровню значимости. В этом случае мы имеем уровень значимости, равный 0,01, поэтому это вероятность ошибки I типа.

Если среднее значение популяции на самом деле составляет 10,75 унции, какова вероятность ошибки типа II?

Мы начинаем с переформулирования нашего правила принятия решений в терминах выборочного среднего. Для уровня значимости 0,01 мы отвергаем нулевую гипотезу, когда Z < -2.33. Подставляя это значение в формулу для статистики теста, мы отвергаем нулевую гипотезу, когда

(Икс-бар - 11) / (0,6 / √9)

Эквивалентно мы отвергаем нулевую гипотезу, когда 11 - 2,33 (0,2)> Икс-бар или когда Икс-бар менее 10,534. Мы не можем отклонить нулевую гипотезу для Икс-бар больше или равен 10,534. Если истинное среднее значение составляет 10,75, то вероятность того, что Икс-бар больше или равен 10.534 эквивалентно вероятности того, что Z больше или равно -0,22. Эта вероятность, которая является вероятностью ошибки типа II, равна 0,587.