Не все бесконечные множества одинаковы. Один из способов провести различие между этими наборами - спросить, является ли множество счетным бесконечный или не. Таким образом, мы говорим, что бесконечные множества либо счетны, либо неисчислимы. Мы рассмотрим несколько примеров бесконечных множеств и определим, какие из них несчетны.
Счетно Бесконечный
Мы начнем с исключения нескольких примеров бесконечных множеств. Многие из бесконечных множеств, о которых мы сразу думаем, оказываются счетно бесконечными. Это означает, что они могут быть приведены в соответствие один к одному с натуральными числами.
Натуральные числа, целые и рациональные числа все счетно бесконечны. Любое объединение или пересечение счетно бесконечных множеств также счетно. Декартово произведение любого числа счетных множеств счетно. Любое подмножество счетного множества также является счетным.
неисчислимый
Наиболее распространенным способом введения неисчислимых множеств является рассмотрение интервала (0, 1) вещественные числа
. Из этого факта и функции один-к-одному е( Икс ) = Ьх + . это прямое следствие, чтобы показать, что любой интервал (, б) действительных чисел неисчислимо бесконечно.Весь набор действительных чисел также неисчислим. Один из способов показать это - использовать касательную функцию один к одному. е ( Икс ) = загар Икс. Доменом этой функции является интервал (-π / 2, π / 2), несчетное множество, а диапазон - множество всех действительных чисел.
Другие бесчисленные множества
Операции базовой теории множеств могут быть использованы для получения большего количества примеров бесконечно бесконечных множеств:
- Если это подмножество В и несчетно, то так В. Это обеспечивает более прямое доказательство того, что весь набор действительных чисел неисчислим.
- Если неисчислимо и В любой набор, то союз U В также неисчислимы.
- Если неисчислимо и В любое множество, то декартово произведение Икс В также неисчислимы.
- Если бесконечно (даже счетно бесконечно), то набор мощности из неисчислимо
Два других примера, которые связаны друг с другом, несколько удивительны. Не каждое подмножество действительных чисел неисчислимо бесконечно (действительно, рациональные числа образуют счетное подмножество вещественных чисел, которое также плотно). Некоторые подмножества бесконечно бесконечны.
Одно из этих несчетно бесконечных подмножеств включает определенные типы десятичных разложений. Если мы выберем две цифры и сформируем каждое возможное десятичное разложение только с этими двумя цифрами, то полученное бесконечное множество будет неисчислимо.
Другой набор сложнее построить и также неисчислим. Начните с закрытого интервала [0,1]. Удалите среднюю треть этого набора, в результате чего [0, 1/3] U [2/3, 1]. Теперь удалите среднюю треть каждого из оставшихся кусочков набора. Таким образом, (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9) удаляется. Мы продолжаем в том же духе. Множество точек, которые остаются после удаления всех этих интервалов, не является интервалом, однако оно бесконечно бесконечно. Этот набор называется набором Кантора.
Существует бесконечно много несчетных множеств, но приведенные выше примеры являются одними из наиболее часто встречающихся множеств.