Математические свойства волн

Физические волны или механические волныобразуются через вибрацию среды, будь то струна, земная кора или частицы газов и жидкостей. Волны имеют математические свойства, которые можно анализировать, чтобы понять движение волны. Эта статья знакомит с этими общими волновыми свойствами, а не с тем, как применять их в конкретных ситуациях в физике.

Есть два типа механических волн.

А такова, что смещения среды перпендикулярны (поперечны) направлению движения волны вдоль среды. Колебание струны при периодическом движении, так что волны движутся вдоль нее, является поперечной волной, как волны в океане.

продольная волна такова, что смещения среды назад и вперед в том же направлении, что и сама волна. Звуковые волны, в которых частицы воздуха движутся в направлении движения, являются примером продольной волны.

Даже если волны, обсуждаемые в этой статье, будут относиться к перемещению в среде, представленная здесь математика может быть использована для анализа свойств немеханических волн. Например, электромагнитное излучение может перемещаться в пустом пространстве, но все же обладает теми же математическими свойствами, что и другие волны. Например,

1. Волны можно рассматривать как возмущение в среде вокруг состояния равновесия, которое обычно находится в состоянии покоя. Энергия этого возмущения - то, что вызывает движение волны. Лужа воды находится в равновесии, когда нет волн, но как только в нее бросают камень, равновесие частиц нарушается, и начинается волновое движение.
2. Нарушение волнения, или propogates, с определенной скоростью, называется скорость волны (v).
3. Волны переносят энергию, но не материю. Сама среда не путешествует; отдельные частицы совершают движение вперед-назад или вверх-вниз вокруг положения равновесия.

Чтобы математически описать волновое движение, мы ссылаемся на концепцию волновая функция, который описывает положение частицы в среде в любое время. Самой основной из волновых функций является синусоида, или синусоидальная волна, которая является периодическая волна (то есть волна с повторяющимся движением).

Важно отметить, что волновая функция не отображает физическую волну, а представляет собой график смещения относительно положения равновесия. Это может быть запутанным понятием, но полезно то, что мы можем использовать синусоидальную волну, чтобы изобразить большинство периодических движения, такие как движение по кругу или качание маятника, которые не обязательно выглядят волнообразно при просмотре фактического движение.

• скорость волны (v) - скорость распространения волны
• амплитуда () - максимальная величина смещения от равновесия, в единицах СИ, метров. В общем, это расстояние от равновесной средней точки волны до ее максимального смещения, или оно составляет половину полного смещения волны.
• период (T) - время одного волнового цикла (два импульса, или от гребня до гребня или от впадины до впадины), в единицах СИ, в секундах (хотя оно может упоминаться как «секунд на цикл»).
• частота (е) - количество циклов в единицу времени. Единицей измерения СИ является герц (Гц) и

  1 Гц = 1 цикл / с = 1 с^-1

• угловая частота (ω) - это 2π раз частота, в единицах СИ радиан в секунду.
• длина волны (λ) - расстояние между любыми двумя точками в соответствующих позициях на последовательных повторениях в волне, например (например) от одного гребня или впадины до следующего, в Единицы СИ метров.
• волновое число (К) - также называется постоянная распространенияэто полезное количество определяется как 2 π делится на длину волны, поэтому единицами СИ являются радианы на метр.
• пульс - одна половина длины волны, от равновесия назад

Некоторые полезные уравнения для определения вышеуказанных величин:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π ф = 2 π/T

T = 1 / е = 2 π/ω

К = 2π/ω

ω = VK

Вертикальное положение точки на волне, Y, можно найти как функцию от горизонтального положения, Икси время, T, когда мы смотрим на это. Мы благодарим тех математиков, которые сделали эту работу за нас, и получаем следующие полезные уравнения для описания движения волны:

Y(х, т) = грех ω(T - Икс/v) = грех 2π ф(T - Икс/v)

Y(х, т) = грех 2π(T/T - Икс/v)

у (х, т) = грех (ω т - кх)

Последняя особенность волновой функции заключается в том, что применение исчисление взять вторую производную, дает волновое уравнение, который является интригующим и иногда полезным продуктом (который мы еще раз благодарим математиков за и принимаем, не доказывая этого):

d²Y / дх² = (1 / v²) d²Y / дт²

Вторая производная от Y в отношении Икс эквивалентно второй производной Y в отношении T делится на квадрат скорости волны. Ключевая полезность этого уравнения заключается в том, что всякий раз, когда это происходит, мы знаем, что функция Y действует как волна со скоростью волны v и поэтому, ситуацию можно описать с помощью волновой функции.