Случайные величины с биномиальным распределением как известно, дискретны. Это означает, что в биномиальном распределении может существовать исчисляемое количество результатов с разделением между этими результатами. Например, биноминальная переменная может принимать значение три или четыре, но не число между тремя и четырьмя.
С дискретным характером биномиального распределения несколько удивительно, что непрерывная случайная величина может использоваться для аппроксимации биномиального распределения. Для многих биномиальные распределениямы можем использовать нормальное распределение для аппроксимации наших биномиальных вероятностей.
Это можно увидеть, глядя на N броски монет и сдача Икс быть количество голов. В этой ситуации мы имеем биномиальное распределение с вероятностью успеха как п = 0,5 Увеличивая количество бросков, мы видим, что вероятность гистограмма все больше напоминает нормальное распределение.
Постановка нормального приближения
Каждое нормальное распределение полностью определяется двумя
вещественные числа. Эти числа являются средним значением, которое измеряет центр распределения, и среднеквадратичное отклонение, который измеряет распространение распространения. Для данной биномиальной ситуации нам нужно определить, какое нормальное распределение использовать.Выбор правильного нормального распределения определяется количеством испытаний N в биноминальной обстановке и постоянной вероятности успеха п для каждого из этих испытаний. Нормальное приближение для нашей биномиальной переменной является средним н.п. и стандартное отклонение (н.п.(1 - п)0.5.
Например, предположим, что мы угадали по каждому из 100 вопросов теста с несколькими вариантами ответов, где на каждый вопрос был один правильный ответ из четырех вариантов. Количество правильных ответов Икс является биномиальной случайной величиной с N = 100 и п = 0.25. Таким образом, эта случайная величина имеет среднее значение 100 (0,25) = 25 и стандартное отклонение (100 (0,25) (0,75))0.5 = 4.33. Нормальное распределение со средним 25 и стандартным отклонением 4,33 будет работать для аппроксимации этого биномиального распределения.
Когда подходит приближение?
Используя некоторую математику, можно показать, что есть несколько условий, в которых нам нужно использовать нормальное приближение к биномиальное распределение. Количество наблюдений N должно быть достаточно большим, а значение п так что оба н.п. и N(1 - п) больше или равно 10. Это эмпирическое правило, которым руководствуется статистическая практика. Нормальное приближение всегда можно использовать, но если эти условия не выполняются, то приближение может быть не таким хорошим, как в приближении.
Например, если N = 100 и п = 0,25, то мы оправданы в использовании нормального приближения. Это потому что н.п. = 25 и N(1 - п) = 75. Поскольку оба эти числа больше 10, соответствующее нормальное распределение будет довольно хорошо выполнять оценку биномиальных вероятностей.
Зачем использовать приближение?
Биномиальные вероятности рассчитываются с использованием очень простой формулы, чтобы найти биномиальный коэффициент. К сожалению, из-за факториалов в формуле может быть очень легко столкнуться с вычислительными трудностями с бином формула. Нормальное приближение позволяет нам обойти любую из этих проблем, работая со знакомым другом, таблицей значений стандартного нормального распределения.
Много раз определение вероятности попадания биномиальной случайной величины в диапазон значений утомительно вычислять. Это потому, что найти вероятность того, что биномиальная переменная Икс больше 3 и меньше 10, нам нужно найти вероятность того, что Икс равно 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а затем сложите все эти вероятности вместе. Если можно использовать нормальное приближение, вместо этого нам нужно будет определить z-оценки, соответствующие 3 и 10, а затем использовать таблицу вероятностей z-оценок для стандартное нормальное распределение.