Что такое пустой набор в теории множеств?

Когда ничто не может быть чем-то? Это кажется глупым и довольно парадоксальным вопросом. В математической области теории множеств ничто не является чем-то иным, как ничем. Как это может быть?

Когда мы формируем множество без элементов, у нас больше нет ничего. У нас есть набор, в котором ничего нет. Для набора есть специальное имя, которое не содержит элементов. Это называется пустым или нулевым множеством.

Определение пустого набора довольно тонкое и требует немного размышлений. Важно помнить, что мы думаем о устанавливать как коллекция элементов. Сам набор отличается от элементов, которые он содержит.

Например, мы рассмотрим {5}, который является набором, содержащим элемент 5. Набор {5} не является числом. Это набор с номером 5 в качестве элемента, в то время как 5 является числом.

Аналогичным образом, пустой набор не является ничем. Вместо этого это набор без элементов. Это помогает думать о наборах как о контейнерах, а элементы - это те вещи, которые мы помещаем в них. Пустой контейнер все еще является контейнером и аналогичен пустому набору.

Пустой набор уникален, поэтому об этом совершенно уместно говорить. пустой набор, а не пустой набор. Это отличает пустой набор от других наборов. Есть бесконечно много наборов с одним элементом в них. Наборы {a}, {1}, {b} и {123} имеют по одному элементу, поэтому они эквивалентны друг другу. Поскольку сами элементы отличаются друг от друга, множества не равны.

Нет ничего особенного в приведенных выше примерах, каждый из которых имеет один элемент. За одним исключением, для любого счетного числа или бесконечности существует бесконечно много наборов такого размера. Исключением является номер ноль. Существует только один набор, пустой набор без элементов в нем.

Математическое доказательство этого факта несложно. Сначала мы предполагаем, что пустое множество не является уникальным, что есть два множества без элементов в них, а затем используем несколько свойств из теории множеств, чтобы показать, что это предположение подразумевает противоречие.

Пустой набор обозначается символом ∅, который происходит от аналогичного символа в датском алфавите. Некоторые книги ссылаются на пустой набор своим альтернативным именем нулевого набора.

Поскольку существует только один пустой набор, стоит посмотреть, что происходит, когда операции набора пересечение, объединение и дополнение используются с пустым набором и общим набором, который мы обозначим по Икс. Также интересно рассмотреть подмножество пустого набора, а когда пустое множество - подмножество. Эти факты собраны ниже:

• пересечение любого набора с пустым набором является пустым набором. Это связано с тем, что в пустом наборе нет элементов, и поэтому два набора не имеют общих элементов. В символах мы пишем Икс ∩ ∅ = ∅.
• союз любого набора с пустым набором - набор, с которого мы начали. Это потому, что в пустом наборе нет элементов, и поэтому мы не добавляем никаких элементов в другой набор, когда формируем объединение. В символах мы пишем Икс U ∅ = Икс.
• дополнение пустого набора - это универсальный набор для настройки, в которой мы работаем. Это потому, что набор всех элементов, которых нет в пустом наборе, является просто набором всех элементов.
• Пустой набор является подмножеством любого набора. Это потому, что мы формируем подмножества множества Икс выбирая (или не выбирая) элементы из Икс. Один вариант для подмножества - вообще не использовать элементы из Икс. Это дает нам пустой набор.