Игра Yahtzee предполагает использование пяти стандартных кубиков. На каждом ходу игрокам дают три броска. После каждого броска можно хранить любое количество кубиков, чтобы получить конкретные комбинации этих кубиков. Каждый вид комбинации дает разное количество очков.
Один из этих типов комбинаций называется аншлагом. Как фулл-хаус в игре в покер, эта комбинация включает в себя три из определенного числа вместе с парой другого числа. Поскольку Yahtzee включает в себя случайное бросание игральных костей, эту игру можно проанализировать, используя вероятность, чтобы определить, насколько вероятно бросить фулл-хаус за один бросок.
Предположения
Мы начнем с изложения наших предположений. Мы предполагаем, что используемые кости являются справедливыми и независимыми друг от друга. Это означает, что у нас есть единое пространство для образцов, состоящее из всех возможных бросков пяти кубиков. Хотя игра Yahtzee допускает три броска, мы рассмотрим только случай, когда мы получаем фулл-хаус за один бросок.
Образец пространства
Так как мы работаем с единообразныйпробное пространствовычисление нашей вероятности становится вычислением пары проблем подсчета. Вероятность фулл-хауса - это количество способов бросить фулл-хаус, деленное на количество результатов в выборочном пространстве.
Количество результатов в пробном пространстве просто. Поскольку существует пять костей, и каждая из этих костей может иметь один из шести разных результатов, количество результатов в пространстве выборки составляет 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776.
Количество фулл-хаусов
Далее рассчитаем количество способов бросить фулл-хаус. Это более сложная проблема. Чтобы получить фулл-хаус, нам нужно три кубика одного вида, а затем пара кубиков другого типа. Мы разделим эту проблему на две части:
- Какое количество фулл-хаусов разных типов можно катить?
- Каково количество способов, которыми можно раскатать конкретный тип фулл-хауса?
Как только мы узнаем число для каждого из них, мы можем умножить их вместе, чтобы дать нам общее количество фулл-хаусов, которые можно раскатать.
Мы начнем с рассмотрения количества различных типов фулл-хаусов, которые можно катить. Любое из чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6 может быть использовано для трех видов. Есть пять оставшихся номеров для пары. Таким образом, есть 6 x 5 = 30 различных типов комбинаций фулл-хаус, которые можно выпустить.
Например, мы могли бы иметь 5, 5, 5, 2, 2 в качестве одного типа фулл-хауса. Другой тип фулл-хауса будет 4, 4, 4, 1, 1. Еще один будет 1, 1, 4, 4, 4, который отличается от предыдущего фулл-хауса, потому что роли четверок и единиц поменялись.
Теперь мы определяем разное количество способов бросить тот или иной фулл-хаус. Например, каждое из следующего дает нам один и тот же фулл-хаус из трех четверок и двух:
- 4, 4, 4, 1, 1
- 4, 1, 4, 1, 4
- 1, 1, 4, 4, 4
- 1, 4, 4, 4, 1
- 4, 1, 4, 4, 1
Мы видим, что есть как минимум пять способов бросить конкретный фулл-хаус. Есть ли другие? Даже если мы будем продолжать перечислять другие возможности, как мы узнаем, что нашли все из них?
Ключ к ответу на эти вопросы состоит в том, чтобы понять, что мы имеем дело с проблемой подсчета, и определить, с каким типом проблемы подсчета мы работаем. Есть пять позиций, и три из них должны быть заполнены четырьмя. Порядок, в котором мы размещаем наши четверки, не имеет значения, если заполнены точные позиции. После того, как положение четверок определено, их размещение происходит автоматически. По этим причинам мы должны рассмотреть сочетание из пяти позиций, занимаемых три одновременно.
Мы используем формулу комбинации, чтобы получить С(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Это означает, что есть 10 различных способов бросить данный фулл-хаус.
Собирая все это вместе, у нас есть число полных домов. Есть 10 х 30 = 300 способов получить фулл-хаус за один бросок.
Вероятность
Теперь вероятность полного дома это простой расчет деления. Поскольку существует 300 способов бросить фулл-хаус за один бросок и возможно 7776 бросков с пятью кубиками, вероятность броска фулл-хауса составляет 300/7776, что близко к 1/26 и 3,85%. Это в 50 раз чаще, чем бросать Яхтзи за один бросок.
Конечно, очень вероятно, что первый бросок - это не фулл-хаус. Если это так, то нам разрешают еще два броска, что делает фулл-хаус гораздо более вероятным. Вероятность этого гораздо сложнее определить из-за всех возможных ситуаций, которые необходимо будет рассмотреть.