Функция генерации момента для биномиального распределения

Среднее значение и дисперсия случайной величины Икс с биномиальное распределение вероятностей может быть трудно рассчитать напрямую. Хотя может быть понятно, что необходимо сделать при использовании определения ожидаемое значение из Икс и Икс²фактическое выполнение этих шагов - хитрое жонглирование алгеброй и суммированием. Альтернативный способ определения среднего значения и дисперсии биномиальное распределение это использовать функция, генерирующая момент за Икс.

Начните со случайной величины Икс и опишите распределение вероятностей конкретнее. выполнять N независимые испытания Бернулли, каждое из которых имеет вероятность успеха п и вероятность отказа 1 - п. Таким образом, функция вероятности массы

е (Икс) = С(N, Икс)п^Икс(1 – п)^{N - Икс}

Здесь термин С(N, Икс) обозначает количество комбинаций N взятые элементы Икс одновременно и Икс может принимать значения 0, 1, 2, 3,. .., N.

Используйте эту функцию вероятности массы, чтобы получить функцию, производящую момент Икс:

M(T) = Σ_{Икс = 0}^Nе^ТехасС(N,Икс)>)п^Икс(1 – п)^{N - Икс}.

Становится ясно, что вы можете объединить условия с показателем Икс:

M(T) = Σ_{Икс = 0}^N (ре^T)^ИксС(N,Икс)>)(1 – п)^{N - Икс}.

Кроме того, используя формулу бинома, вышеприведенное выражение просто:

M(T) = [(1 – п) + ре^T]^N.

Чтобы найти жадный и дисперсия, вам нужно знать оба M’(0) и M’’(0). Начните с расчета ваших производных, а затем оцените каждый из них в T = 0.

Вы увидите, что первая производная функции, производящей момент, имеет вид:

M’(T) = N(ре^T)[(1 – п) + ре^T]^{N - 1}.

Исходя из этого, вы можете рассчитать среднее значение распределения вероятностей. M(0) = N(ре⁰)[(1 – п) + ре⁰]^{N - 1} = н.п.. Это соответствует выражению, которое мы получили непосредственно из определения среднего.

Расчет дисперсии выполняется аналогичным образом. Сначала снова дифференцируем производящую момент функцию, а затем оценим эту производную в T = 0. Здесь вы увидите, что

M’’(T) = N(N - 1)(ре^T)²[(1 – п) + ре^T]^{N - 2} + N(ре^T)[(1 – п) + ре^T]^{N - 1}.

Для расчета дисперсии этой случайной величины вам нужно найти M’’(T). Здесь у вас есть M’’(0) = N(N - 1)п² +н.п.. Дисперсия σ² вашего распространения

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = N(N - 1)п² +н.п. - (н.п.)² = н.п.(1 - п).

Хотя этот метод несколько сложен, он не так сложен, как вычисление среднего значения и дисперсии непосредственно из функции вероятностной массы.