Что такое стандартное нормальное распределение в статистике?

Кривые колокола появляются в статистике Различные измерения, такие как диаметры семян, длины рыбьих плавников, оценки по SAT и веса отдельных листов пачки бумаги, образуют кривые колокольчиков при их построении. Общая форма всех этих кривых одинакова. Но все эти кривые разные, потому что маловероятно, что какая-либо из них будет иметь одинаковое среднее значение или стандартное отклонение. Кривые колокола с большими стандартными отклонениями широкие, а кривые колокола с небольшими стандартными отклонениями являются тощими. Кривые колокола с большими средними смещены вправо больше, чем с меньшими средними.

Чтобы сделать это немного конкретнее, давайте представим, что мы измеряем диаметры 500 зерен кукурузы. Затем мы записываем, анализируем и наносим на график эти данные. Найдено, что набор данных имеет форму кривой колокола и имеет среднее значение 1,2 см со стандартным отклонением 0,4 см. Теперь предположим, что мы делаем то же самое с 500 бобами, и мы находим, что они имеют средний диаметр 0,8 см со стандартным отклонением 0,04 см.

Кривые колокольчиков из обоих этих наборов данных приведены выше. Красная кривая соответствует данным по кукурузе, а зеленая кривая соответствует данным по бобам. Как мы видим, центры и спреды этих двух кривых различны.

Это явно две разные кривые колокола. Они разные, потому что их средства и Стандартное отклонение не совпадают Поскольку любые интересные наборы данных, с которыми мы сталкиваемся, могут иметь любое положительное число в качестве стандартного отклонения и любое число в качестве среднего, мы просто царапаем поверхность бесконечный количество кривых колокола. Это много кривых и слишком много, чтобы иметь дело с. Какое решение?

Одна из целей математики - обобщать вещи, когда это возможно. Иногда отдельные проблемы являются частными случаями одной проблемы. Эта ситуация с кривыми колокольчиков является отличной иллюстрацией этого. Вместо того, чтобы иметь дело с бесконечным числом кривых колокольчиков, мы можем связать их все с одной кривой. Эта особая кривая колокола называется стандартной кривой колокола или стандартным нормальным распределением.

Стандартная кривая колокола имеет среднее значение, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице. Любая другая кривая колокола может быть сравнена с этим стандартом с помощью простой расчет.

Все свойства любой кривой колокола справедливы для стандартного нормального распределения.

• Стандартное нормальное распределение имеет не только среднее значение нуля, но также медиану и моду нуля. Это центр кривой.
• Стандартное нормальное распределение показывает зеркальную симметрию в нуле. Половина кривой находится слева от нуля, а половина кривой - справа. Если бы кривая была согнута вдоль вертикальной линии в нуле, обе половинки идеально совпали бы.
• Стандартное нормальное распределение следует правилу 68-95-99.7, что дает нам простой способ оценить следующее:
  • Примерно 68% всех данных находится в диапазоне от -1 до 1.
  • Примерно 95% всех данных находится между -2 и 2.
  • Примерно 99,7% всех данных находятся в диапазоне от -3 до 3.

В этот момент мы можем спросить: «Зачем беспокоиться о стандартной кривой колокола?» Это может показаться ненужным осложнением, но стандартная кривая колокола будет полезна, поскольку мы продолжаем в статистике.

Мы обнаружим, что один тип проблемы в статистике требует от нас поиска областей под частями любой кривой колокола, с которой мы сталкиваемся. Кривая колокола не является хорошей формой для областей. Это не как прямоугольник или прямоугольный треугольник это легко формулы площади. Поиск областей частей кривой колокола может быть сложным, настолько сложным, что нам понадобится некоторое исчисление. Если мы не стандартизируем наши кривые колокольчиков, нам нужно будет делать некоторые расчеты каждый раз, когда мы хотим найти область. Если мы стандартизируем наши кривые, вся работа по вычислению площадей была сделана для нас.