Что такое асимметрия экспоненциального распределения?

общий параметры за распределение вероятностей включают среднее значение и стандартное отклонение. Среднее значение дает измерение центра, а стандартное отклонение говорит о том, как распределено распределение. Помимо этих общеизвестных параметров, есть и другие, которые привлекают внимание к функциям, отличным от разворота или центра. Одним из таких измерений является измерение перекос. Асимметрия позволяет прикрепить числовое значение к асимметрии распределения.

Одним из важных распределений, которое мы рассмотрим, является экспоненциальное распределение. Мы увидим, как доказать, что асимметрия экспоненциального распределения равна 2.

Начнем с определения функции плотности вероятности для экспоненциального распределения. Каждое из этих распределений имеет параметр, который связан с параметром из Пуассоновский процесс. Обозначим это распределение как Exp (A), где A - параметр. Функция плотности вероятности для этого распределения:

е(Икс) = е^{-Икс/ A}/ А, где Икс неотрицательный

Вот е это математическое постоянная е это примерно 2.718281828. Среднее и стандартное отклонение экспоненциального распределения Exp (A) оба связаны с параметром A. На самом деле среднее значение и стандартное отклонение равны A.

Асимметрия определяется выражением, относящимся к третьему моменту о среднем. Это выражение является ожидаемым значением:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Заменим µ и σ на A, и в результате асимметрия будет E [X³] / A³ – 4.

Осталось только посчитать третий момент о происхождении. Для этого нам нужно интегрировать следующее:

∫^∞₀Икс³е(Икс) гИкс.

Этот интеграл имеет бесконечность для одного из своих пределов. Таким образом, его можно оценить как неправильный интеграл типа I. Мы также должны определить, какую технику интеграции использовать. Поскольку интегрируемая функция является произведением полиномиальной и экспоненциальной функции, нам необходимо использовать интеграция по частям. Этот метод интеграции применяется несколько раз. Конечный результат таков:

Е [Х³] = 6А³

Затем мы объединяем это с нашим предыдущим уравнением для асимметрии. Мы видим, что асимметрия составляет 6 - 4 = 2.

Важно отметить, что результат не зависит от конкретного экспоненциального распределения, с которого мы начинаем. Асимметрия экспоненциального распределения не зависит от значения параметра А.

Кроме того, мы видим, что результатом является положительная асимметрия. Это означает, что распределение перекошено вправо. Это не должно вызывать удивления, поскольку мы думаем о форме графика функции плотности вероятности. Все такие распределения имеют y-пересечение как 1 // тета и хвост, идущий в крайний правый угол графика, соответствующий высоким значениям переменной Икс.

Конечно, следует также упомянуть, что существует другой способ расчета асимметрии. Мы можем использовать функцию, производящую момент, для экспоненциального распределения. Первая производная от функция, генерирующая момент оценка в 0 дает нам E [X]. Аналогично, третья производная функции, производящей момент, при оценке в 0 дает нам E (X³].