Макс и точки перегиба распределения хи-квадрат

Математическая статистика использует методы из различных разделов математики, чтобы окончательно доказать, что утверждения относительно статистики верны. Мы увидим, как использовать исчисление для определения упомянутых выше значений как максимального значения распределение хи-квадрат, которое соответствует его моде, а также найти точки перегиба распределение.

Прежде чем сделать это, мы обсудим особенности максимумов и точек перегиба в целом. Мы также рассмотрим метод расчета максимума точек перегиба.

Для дискретного набора данных режим является наиболее часто встречающимся значением. На гистограмме данных это будет представлено самой высокой полосой. Как только мы узнаем самый высокий бар, мы смотрим на значение данных, которое соответствует базе для этого бара. Это режим для нашего набора данных.

Эта же идея используется при работе с непрерывным распределением. На этот раз, чтобы найти режим, мы ищем самый высокий пик в распределении. Для графика этого распределения высота пика является значением у. Это значение y называется максимумом для нашего графа, потому что значение больше, чем любое другое значение y. Режим - это значение по горизонтальной оси, которое соответствует этому максимальному значению y.

Хотя мы можем просто посмотреть на график распределения, чтобы найти режим, есть некоторые проблемы с этим методом. Наша точность так же хороша, как и наш график, и нам, вероятно, придется оценивать. Кроме того, могут быть трудности в графике нашей функции.

Альтернативный метод, который не требует построения графиков, заключается в использовании исчисления. Метод, который мы будем использовать, выглядит следующим образом:

1. Начнем с функции плотности вероятности е (Икс) для нашего распространения.
2. Рассчитать первое и второе производные этой функции: е '(Икс) и е ''(Икс)
3. Установите эту первую производную равной нулю е '(Икс) = 0.
4. Решить для Икс.
5. Вставьте значения из предыдущего шага во вторую производную и оцените. Если результат отрицательный, то у нас есть локальный максимум при значении х.
6. Оцените нашу функцию f (Икс) во всех точках Икс с предыдущего шага.
7. Оцените функцию плотности вероятности на любых конечных точках ее поддержки. Таким образом, если функция имеет область, заданную закрытым интервалом [a, b], то оцените функцию в конечных точках и б.
8. Наибольшее значение в шагах 6 и 7 будет абсолютным максимумом функции. Значение x, где этот максимум возникает, является режимом распределения.

Теперь мы пройдем шаги, описанные выше, чтобы рассчитать режим распределения хи-квадрат с р степени свободы. Начнем с функции плотности вероятности е(Икс), который отображается на изображении в этой статье.

е (Икс) = К Икс^{г / 2-1}е^{-x / 2}

Вот К константа, которая включает в себя гамма-функция и степень 2. Нам не нужно знать специфику (однако мы можем обратиться к формуле на изображении для них).

Первая производная этой функции дается с помощью правило продукта так же хорошо как Правило цепи:

е '( Икс ) = К (т / 2 - 1)Икс^{г / 2-2}е^{-x / 2} - (К / 2) Икс^{г / 2-1}е^{-x / 2}

Мы устанавливаем эту производную равной нулю и разлагаем выражение в правой части:

0 = К х^{г / 2-1}е^{-x / 2} [(r / 2 - 1)Икс^-1- 1/2]

Так как постоянная K, экспоненциальная функция и Икс^{г / 2-1} все ненулевые, мы можем разделить обе части уравнения этими выражениями. Затем мы имеем:

0 = (r / 2 - 1)Икс^-1- 1/2

Умножим обе части уравнения на 2:

0 = (р - 2)Икс^-1- 1

Таким образом, 1 = (р - 2)Икс^-1и мы заключаем, имея х = г - 2. Это точка вдоль горизонтальной оси, где происходит мода. Это указывает на Икс значение пика нашего распределения хи-квадрат.

Другая особенность кривой связана с тем, как она изгибается. Части кривой могут быть вогнутыми, как верхний регистр U. Кривые также могут быть вогнутыми и иметь форму пересечение символ ∩. Там, где кривая меняется от вогнутой вниз к вогнутой вверх или наоборот, у нас есть точка перегиба.

Вторая производная функции определяет вогнутость графика функции. Если вторая производная положительна, то кривая вогнута. Если вторая производная отрицательна, то кривая вогнута вниз. Когда вторая производная равна нулю и график функции меняет вогнутость, мы имеем точку перегиба.

Чтобы найти точки перегиба графа, мы:

1. Вычислить вторую производную нашей функции е ''(Икс).
2. Установите эту вторую производную равной нулю.
3. Решите уравнение из предыдущего шага для Икс.

Теперь мы видим, как выполнить вышеупомянутые шаги для распределения хи-квадрат. Мы начинаем с дифференциации. Из вышеприведенной работы мы увидели, что первая производная для нашей функции:

е '(Икс) = К (т / 2 - 1) Икс^{г / 2-2}е^{-x / 2} - (К / 2) Икс^{г / 2-1}е^{-x / 2}

Мы дифференцируем снова, используя правило продукта дважды. У нас есть:

е ''( Икс ) = К (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)Икс^{г / 2-3}е^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)Икс^{г / 2-2}е^{-x / 2} + (К / 4) Икс^{г / 2-1}е^{-x / 2} - (К / 2) (р / 2 - 1) Икс^{г / 2-2}е^{-x / 2}

Мы устанавливаем это равным нулю и делим обе стороны на Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)Икс^{г / 2-3}- (1/2) (об / 2 - 1)Икс^{г / 2-2}+ (1/ 4) Икс^{г / 2-1}- (1/ 2)(р/2 - 1) Икс^{г / 2-2}

Объединяя одинаковые термины, мы имеем:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)Икс^{г / 2-3}- (т / 2 - 1)Икс^{г / 2-2}+ (1/ 4) Икс^{г / 2-1}

Умножьте обе стороны на 4Икс^{3 - р / 2}это дает нам:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)Икс+ Икс^2.

Квадратичная формула теперь может быть использована для решения Икс.

Икс = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Мы расширяем условия, которые взяты до степени 1/2, и видим следующее:

(4г² -16р + 16) - 4 (р² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Это означает, что:

Икс = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Из этого мы видим, что есть две точки перегиба. Более того, эти точки симметричны относительно моды распределения, поскольку (r - 2) находится на полпути между двумя точками перегиба.

Мы видим, как обе эти функции связаны с количеством степеней свободы. Мы можем использовать эту информацию, чтобы помочь в создании эскиза распределения хи-квадрат. Мы также можем сравнить это распределение с другими, такими как нормальное распределение. Мы можем видеть, что точки перегиба для распределения хи-квадрат встречаются в разных местах, чем точки перегиба для нормального распределения.