Что такое отрицательное биномиальное распределение?

Отрицательное биномиальное распределение является распределение вероятностей это используется с дискретными случайными величинами. Этот тип распределения касается количества испытаний, которые должны пройти, чтобы получить заранее определенное количество успехов. Как мы увидим, отрицательное биномиальное распределение связано с биномиальное распределение. Кроме того, это распределение обобщает геометрическое распределение.

Мы начнем с рассмотрения как условий, так и условий, порождающих отрицательное биномиальное распределение. Многие из этих условий очень похожи на биномиальные условия.

1. У нас есть эксперимент Бернулли. Это означает, что каждое испытание, которое мы проводим, имеет четко определенные успехи и неудачи, и что это единственные результаты.
2. Вероятность успеха постоянна независимо от того, сколько раз мы проводим эксперимент. Обозначим эту постоянную вероятность с помощью п.
3. Эксперимент повторяется для Икс независимые испытания, что означает, что результат одного испытания не влияет на результат последующего испытания.

Эти три условия идентичны условиям в биномиальном распределении. Разница в том, что биномиальная случайная величина имеет фиксированное количество испытаний п. Единственные значения Икс 0, 1, 2,..., п, так что это конечное распределение.

Отрицательное биномиальное распределение связано с количеством испытаний Икс это должно произойти, пока мы не р Успехи. Число р это целое число, которое мы выбираем, прежде чем мы начнем выполнять наши испытания. Случайная переменная Икс все еще дискретно. Однако теперь случайная величина может принимать значения X = r, r + 1, r + 2,... Эта случайная величина счетно бесконечна, так как может пройти произвольно много времени, прежде чем мы получим р Успехи.

Чтобы помочь разобраться в отрицательном биномиальном распределении, стоит рассмотреть пример. Предположим, что мы подбрасываем честную монету и задаем вопрос: «Какова вероятность, что мы получим три головы в первом? Икс монета подбрасывает? »Это ситуация, которая требует отрицательного биномиального распределения.

У бросков монеты есть два возможных исхода: вероятность успеха равна константе 1/2, а в испытаниях они не зависят друг от друга. Мы спрашиваем о вероятности получения первых трех голов после Икс монета подбрасывает. Таким образом, мы должны перевернуть монету как минимум три раза. Затем мы продолжаем листать, пока не появится третья голова.

Чтобы вычислить вероятности, связанные с отрицательным биномиальным распределением, нам нужно больше информации. Нам нужно знать функцию вероятности массы.

Функция вероятности массы для отрицательного биномиального распределения может быть разработана с небольшим количеством размышления. У каждого испытания есть вероятность успеха, данная п. Поскольку возможны только два исхода, это означает, что вероятность отказа постоянна (1 - п ).

рЭтот успех должен произойти для Икси окончательное испытание. Предыдущий Икс - 1 испытание должно содержать точно г - 1 Успехи. Количество способов, которыми это может произойти, определяется количеством комбинаций:

C (Икс - 1, р -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (х - р)!].

В дополнение к этому у нас есть независимые события, и поэтому мы можем умножить наши вероятности вместе. Собрав все это вместе, получим функцию вероятности массы

е(Икс) = C (Икс - 1, р -1) п^р(1 - п)^{Икс - р}.

Теперь мы в состоянии понять, почему эта случайная величина имеет отрицательное биномиальное распределение. Количество комбинаций, с которыми мы столкнулись выше, можно записать по-разному, установив х - г = к:

(x - 1)! / [(r - 1)! (х - р)!] = (х + к - 1)! / [(R - 1)! К!] = (г + к - 1)(х + к - 2)... (r + 1) (r) /К! = (-1)^К(-r) (- r - 1).. . (- r - (k + 1) / k !.

Здесь мы видим появление отрицательного биномиального коэффициента, который используется, когда мы возводим биномиальное выражение (a + b) в отрицательную степень.

Средство распределения важно знать, потому что это один из способов обозначить центр распределения. Среднее значение случайной величины этого типа определяется ее ожидаемым значением и равно р / п. Мы можем доказать это тщательно, используя функция, генерирующая момент для этого распределения.

Интуиция ведет нас и к этому выражению. Предположим, что мы выполняем серию испытаний N₁ пока мы не получим р Успехи. И затем мы делаем это снова, только на этот раз N₂ испытания. Мы продолжаем это снова и снова, пока у нас не будет большое количество групп испытаний N = N₁ + N₂ +... +N_к.

Каждый из них К испытания содержит р успехи, и поэтому у нас есть в общей сложности кр Успехи. Если N велик, то мы ожидаем увидеть Np Успехи. Таким образом, мы приравниваем их вместе и имеем кр = нп.

Мы делаем некоторую алгебру и находим, что N / K = R / P. Доля в левой части этого уравнения представляет собой среднее количество испытаний, необходимых для каждого из наших К группы испытаний. Другими словами, это ожидаемое количество раз, чтобы выполнить эксперимент, чтобы у нас было в общей сложности р Успехи. Это именно то ожидание, которое мы хотим найти. Мы видим, что это равно формуле т / п.

Дисперсию отрицательного биномиального распределения также можно рассчитать с помощью функции, генерирующей момент. Когда мы делаем это, мы видим, что дисперсия этого распределения задается следующей формулой:

г (1 - п)/п²

Функция генерирования момента для этого типа случайной величины довольно сложна. Напомним, что функция, генерирующая момент, определяется как ожидаемое значение E [e^Техас]. Используя это определение с нашей функцией вероятности, мы имеем:

M (t) = E [e^Техас] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (х - р)] Е^Техасп^р(1 - п)^{Икс - р}

После некоторой алгебры это становится M (t) = (pe^T)^р[1- (1-р) е^T]^-р

Выше мы видели, как отрицательное биномиальное распределение во многом похоже на биномиальное распределение. В дополнение к этой связи отрицательное биномиальное распределение является более общей версией геометрического распределения.

Геометрическая случайная величина Икс подсчитывает количество испытаний, необходимых до первого успеха. Легко видеть, что это именно отрицательное биномиальное распределение, но с р равный одному.

Существуют и другие формулировки отрицательного биномиального распределения. Некоторые учебники определяют Икс быть количество испытаний до р сбои случаются.

Мы рассмотрим пример задачи, чтобы увидеть, как работать с отрицательным биномиальным распределением. Предположим, что баскетболист на 80% стреляет штрафным броском. Далее, предположим, что выполнение одного штрафного броска не зависит от выполнения следующего. Какова вероятность, что для этого игрока восьмая корзина сделана на десятый штрафной бросок?

Мы видим, что у нас есть настройка для отрицательного биномиального распределения. Постоянная вероятность успеха равна 0,8, а значит вероятность отказа равна 0,2. Мы хотим определить вероятность X = 10 при r = 8.

Мы включаем эти значения в нашу функцию вероятности массы:

f (10) = C (10 -1, 8 - 1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², что составляет примерно 24%.

Затем мы могли бы спросить, каково среднее количество штрафных бросков, прежде чем этот игрок сделает восемь из них. Поскольку ожидаемое значение составляет 8 / 0,8 = 10, это количество снимков.