Решения для сложных задач подсчета

Подсчет может показаться легкой задачей. Как мы идем глубже в область математика известный как комбинаторикаМы понимаем, что мы сталкиваемся с некоторыми большими числами. Так как факториал появляется так часто, и число, например, 10! больше трех миллионаподсчет проблем может очень быстро усложниться, если мы попытаемся перечислить все возможности.

Иногда, когда мы рассматриваем все возможности, которые могут использовать наши проблемы подсчета, легче продумать основные принципы этой проблемы. Эта стратегия может занять гораздо меньше времени, чем попытка грубой силы перечислить ряд комбинации или перестановки.

На вопрос "Сколько способов можно что-то сделать?" это совершенно другой вопрос от "Каковы пути что-то можно сделать? »Мы увидим эту идею в работе в следующем наборе сложных подсчетов проблемы.

Следующий набор вопросов включает в себя слово TRIANGLE. Обратите внимание, что всего есть восемь букв. Пусть будет понятно, что гласные звуки слова ТРЕУГОЛЬНИК - AEI, а согласные слова ТРЕУГОЛЬНИК - LGNRT. Для реальной проблемы, прежде чем читать дальше, ознакомьтесь с версией этих проблем без решения.

1. Сколько способов можно расположить буквы слова TRIANGLE?
   Решение: Здесь есть всего восемь вариантов для первой буквы, семь для второй, шесть для третьей и так далее. По принципу умножения мы умножаем в общей сложности 8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 8! = 40 320 разных способов.
2. Сколько способов можно расположить буквы слова TRIANGLE, если первые три буквы должны быть RAN (в этом точном порядке)?
   Решение: Первые три буквы были выбраны для нас, оставив нам пять букв. После RAN у нас есть пять вариантов выбора следующей буквы, затем четыре, затем три, затем два, затем один. По принципу умножения, есть 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 5! = 120 способов расположить буквы указанным способом.
3. Сколько способов можно расположить буквы слова TRIANGLE, если первые три буквы должны быть RAN (в любом порядке)?
   Решение: Посмотрите на это как на две независимые задачи: первая - расположение букв RAN, а вторая - остальные пять букв. Есть 3! = 6 способов размещения РАН и 5! Способы расставить остальные пять букв. Итак, их всего 3! х 5! = 720 способов расположить буквы ТРЕУГОЛЬНИКА, как указано.
4. Сколько способов можно расположить буквы слова TRIANGLE, если первые три буквы должны быть RAN (в любом порядке), а последняя буква должна быть гласной?
   Решение: Посмотрите на это как на три задачи: первое расположение букв RAN, второе выбор одной гласной из I и E, а третье расположение остальных четырех букв. Есть 3! = 6 способов устроить RAN, 2 способа выбрать гласную из оставшихся букв и 4! Способы расставить остальные четыре буквы. Итак, их всего 3! Х 2 х 4! = 288 способов расположить буквы TRIANGLE, как указано.
5. Сколько способов можно расположить буквы слова TRIANGLE, если первые три буквы должны быть RAN (в любом порядке), а следующие три буквы должны быть TRI (в любом порядке)?
   Решение: Опять же, у нас есть три задачи: первое расположение букв RAN, второе расположение букв TRI и третье расположение двух других букв. Есть 3! = 6 способов размещения РАН, 3! способы обустройства TRI и два способа обустройства других букв. Итак, их всего 3! х 3! X 2 = 72 способа расположить буквы ТРЕУГОЛЬНИКА, как указано.
6. Сколько разных способов можно расположить буквы слова TRIANGLE, если порядок и расположение гласных IAE нельзя изменить?
   Решение: Три гласных должны храниться в одном и том же порядке. Теперь есть всего пять согласных. Это можно сделать за 5! = 120 способов.
7. Сколько разных способов можно расположить буквы слова TRIANGLE, если порядок гласных IAE не может могут быть изменены, хотя их размещение может (IAETRNGL и TRIANGEL приемлемы, но EIATRNGL и TRIENGLA не)?
   Решение: Это лучше всего продумать в два этапа. Шаг первый - выбрать места, куда идут гласные. Здесь мы выбираем три места из восьми, и порядок, в котором мы это делаем, не важен. Это комбинация и всего С(8,3) = 56 способов выполнить этот шаг. Оставшиеся пять букв могут быть расположены в 5! = 120 способов. Это дает в общей сложности 56 х 120 = 6720 мероприятий.
8. Сколько разных способов можно расположить буквы слова TRIANGLE, если порядок гласных IAE можно изменить, а их расположение нельзя?
   Решение: Это действительно то же самое, что и № 4 выше, но с разными буквами. Мы устраиваем три буквы в 3! = 6 способов, а остальные пять букв в 5! = 120 способов. Общее количество способов для этой договоренности составляет 6 х 120 = 720.
9. Сколько по-разному можно расположить шесть букв слова TRIANGLE?
   Решение: Поскольку мы говорим о договоренности, это перестановка, и есть в общей сложности п( 8, 6) = 8!/2! = 20 160 способов.
10. Сколько по-разному можно расположить шесть букв слова TRIANGLE, если должно быть одинаковое количество гласных и согласных?
    Решение: Есть только один способ выбрать гласные, которые мы собираемся разместить. Выбор согласных можно сделать в С(5, 3) = 10 способов. Есть тогда 6! способы расставить шесть букв. Умножьте эти числа вместе для результата 7200.
11. Сколько разных способов можно расположить шесть букв слова TRIANGLE, если должен быть хотя бы один согласный?
    Решение: Каждое расположение из шести букв удовлетворяет условиям, поэтому есть п(8, 6) = 20 160 способов.
12. Сколько разных способов можно расположить шесть букв слова TRIANGLE, если гласные должны чередоваться с согласными?
    Решение: Есть две возможности, первая буква гласная или первая буква согласная. Если первая буква является гласной, у нас есть три варианта выбора, за которыми следуют пять для согласного, два для второго гласного, четыре для второго согласного, один для последнего гласного и три для последнего согласного. Мы умножаем это, чтобы получить 3 х 5 х 2 х 4 х 1 х 3 = 360. По аргументам симметрии, есть такое же количество аранжировок, которые начинаются с согласной. Это дает в общей сложности 720 мероприятий.
13. Сколько разных наборов из четырех букв можно составить из слова TRIANGLE?
    Решение: Поскольку мы говорим о устанавливать из четырех букв из восьми, порядок не важен. Нам нужно рассчитать комбинацию С(8, 4) = 70.
14. Сколько разных наборов из четырех букв можно составить из слова TRIANGLE, которое имеет две гласные и две согласные?
    Решение: Здесь мы формируем наш набор в два этапа. Есть С(3, 2) = 3 способа выбора двух гласных из 3. Есть С(5, 2) = 10 способов выбора согласных из пяти доступных. Это дает в общей сложности 3x10 = 30 возможных наборов.
15. Сколько разных наборов из четырех букв можно составить из слова TRIANGLE, если мы хотим хотя бы одну гласную?
    Решение: Это можно рассчитать следующим образом:

• Количество наборов из четырех с одной гласной составляет С(3, 1) х С( 5, 3) = 30.
• Количество наборов из четырех с двумя гласными С(3, 2) х С( 5, 2) = 30.
• Количество наборов из четырех с тремя гласными С(3, 3) х С( 5, 1) = 5.

Это дает в общей сложности 65 различных наборов. В качестве альтернативы мы можем рассчитать, что существует 70 способов сформировать набор из любых четырех букв, и вычесть С(5, 4) = 5 способов получения набора без гласных.