В чем разница двух множеств в теории множеств?

Разница двух комплектов, написанных - В это набор всех элементов которые не являются элементами В. Разница операций, наряду с объединением и пересечением, является важным и фундаментальная теория множеств.

Вычитание одного числа из другого можно представить по-разному. Одна модель, помогающая понять эту концепцию, называется моделью на вынос вычитание. В этом случае проблема 5 - 2 = 3 будет продемонстрирована, начав с пяти объектов, удалив два из них и посчитав, что осталось три. Таким же образом, как мы находим разницу между двумя числами, мы можем найти разницу двух множеств.

Мы рассмотрим пример разности множеств. Чтобы увидеть, как разница двух наборы формирует новый набор, давайте рассмотрим наборы = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Чтобы найти разницу - В из этих двух наборов, мы начинаем с записи всех элементов , а затем забрать каждый элемент это также элемент В. поскольку разделяет элементы 3, 4 и 5 с Вэто дает нам заданную разницу - В = {1, 2}.

Подобно тому, как различия 4-7 и 7-4 дают нам разные ответы, мы должны быть осторожны с порядком, в котором мы вычисляем разность множеств. Чтобы использовать технический термин из математики, мы бы сказали, что заданная операция разности не коммутативна. Это означает, что в общем случае мы не можем изменить порядок разности двух множеств и ожидать одинакового результата. Можно точнее сказать, что для всех множеств и В, - В не равно В - .

Чтобы увидеть это, вернитесь к примеру выше. Мы рассчитали, что для наборов = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, разница - В = {1, 2 }. Чтобы сравнить это с В - A, мы начнем с элементов В, которые 3, 4, 5, 6, 7, 8, а затем удалите 3, 4 и 5, потому что они являются общими с . Результат В - = {6, 7, 8 }. Этот пример ясно показывает нам, что A - B не равно Б - А.

Один вид различий достаточно важен, чтобы гарантировать свое собственное специальное имя и символ. Это называется дополнением, и оно используется для разницы набора, когда первый сет это универсальный набор. Дополнение дается выражением U - . Это относится к набору всех элементов в универсальном наборе, которые не являются элементами . Поскольку понятно, что набор элементов что мы можем выбирать, взяты из универсального набора, мы можем просто сказать, что дополнение это набор, состоящий из элементов, которые не являются элементами .

Дополнение набора относительно универсального набора, с которым мы работаем. С = {1, 2, 3} и U = {1, 2, 3, 4, 5}, дополнение это {4, 5}. Если наш универсальный набор отличается, скажем, U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, то дополнение {-3, -2, -1, 0}. Обязательно обращайте внимание на то, какой универсальный набор используется.

Слово «дополнение» начинается с буквы «С», поэтому оно используется в обозначениях. Дополнение к набору написано как ^С. Таким образом, мы можем выразить определение дополнения в символах как: ^С = U - .

Другой способ, который обычно используется для обозначения дополнения набора, включает апостроф и записывается как '.

Существует множество наборов идентификаторов, которые включают использование операций разности и дополнения. Некоторые тождества объединяют другие операции над множествами, такие как пересечение и союз. Некоторые из наиболее важных из них указаны ниже. Для всех комплектов , и В и D у нас есть:

• - =∅
• - ∅ =
• ∅ - = ∅
• - U = ∅
• (^С)^С =
• Закон Деморгана I: ( ∩ В)^С = ^С ∪ В^С
• Закон Деморгана II: ( ∪ В)^С = ^С ∩ В^С