Естественно задать вопрос о распределении вероятностей: «Каков его центр?». Ожидаемое значение является одним из таких измерений центра распределения вероятностей. Поскольку он измеряет среднее значение, неудивительно, что эта формула получена из формулы среднего.
Чтобы установить отправную точку, мы должны ответить на вопрос «Какова ожидаемая стоимость?» Предположим, что у нас есть случайная величина, связанная с вероятностным экспериментом. Допустим, мы повторяем этот эксперимент снова и снова. В долгосрочной перспективе из нескольких повторений одного и того же вероятностного эксперимента, если мы усредним все наши значения случайная переменнаямы получили бы ожидаемое значение.
В дальнейшем мы увидим, как использовать формулу для ожидаемого значения. Мы рассмотрим как дискретные, так и непрерывные настройки и увидим сходства и различия в формулах.
Формула для дискретной случайной величины
Начнем с анализа дискретного случая. Дана дискретная случайная величина Икспредположим, что оно имеет значения
Икс1, Икс2, Икс3,... ИксNи соответствующие вероятности п1, п2, п3,... пN. Это говорит о том, что функция вероятности массы для этой случайной величины дает е(Икся) = пя.Ожидаемое значение Икс дается по формуле:
E (Икс) = Икс1п1 + Икс2п2 + Икс3п3 +... + ИксNпN.
Использование функции вероятности массы и суммы суммирования позволяет нам более компактно записать эту формулу следующим образом, где суммирование берется по индексу я:
E (Икс) = Σ Иксяе(Икся).
Эту версию формулы полезно увидеть, потому что она также работает, когда у нас бесконечное пространство выборки. Эта формула также может быть легко скорректирована для непрерывного случая.
Пример
Переверни монету три раза и дай Икс быть количество голов. Случайная переменная Икс является дискретным и конечным. Единственные возможные значения, которые мы можем иметь, это 0, 1, 2 и 3. Это имеет вероятность распределения 1/8 для Икс = 0, 3/8 для Икс = 1, 3/8 для Икс = 2, 1/8 для Икс = 3. Используйте формулу ожидаемого значения, чтобы получить:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
В этом примере мы видим, что в конечном итоге мы получим в среднем 1,5 головы из этого эксперимента. Это имеет смысл с нашей интуицией, так как половина от 3 равна 1,5.
Формула для непрерывной случайной величины
Теперь перейдем к непрерывной случайной переменной, которую мы обозначим как Икс. Мы позволим функции плотности вероятности Икс быть заданным функцией е(Икс).
Ожидаемое значение Икс дается по формуле:
E (Икс) = ∫ х ф(Икс) гИкс.
Здесь мы видим, что ожидаемое значение нашей случайной величины выражается в виде интеграла.
Приложения ожидаемой стоимости
Много заявки на ожидаемую стоимость случайной величины. Эта формула делает интересное появление в Санкт-Петербургский парадокс.