Двумерная кинематика: движение в плоскости

В этой статье изложены основные понятия, необходимые для анализа движения объектов в двух измерениях, без учета сил, которые вызывают ускорение. Примером проблемы такого типа может быть бросание мяча или стрельба из пушечного ядра. Это предполагает знакомство с одномерная кинематика, поскольку он расширяет те же понятия в двумерном векторном пространстве.

Кинематика включает в себя смещение, скорость и ускорение, которые все векторные величины которые требуют как величины, так и направления. Поэтому, чтобы начать задачу в двумерной кинематике, вы должны сначала определить система координат ты используешь. Как правило, это будет с точки зрения Иксось и Y-оси, ориентированные так, чтобы движение было в положительном направлении, хотя могут быть некоторые обстоятельства, когда это не лучший метод.

В случаях, когда рассматривается гравитация, принято делать направление гравитации в отрицательномY направление. Это соглашение, которое обычно упрощает проблему, хотя было бы возможно выполнить вычисления с другой ориентацией, если вы действительно хотите.

Вектор положения р является вектором, который идет от начала системы координат до данной точки в системе. Изменение положения (Δрпроизносится "Дельта" р") разница между начальной точкой (р₁) до конечной точки (р₂). Мы определяем Средняя скорость (v_{средний}) в качестве:

v_{средний} = (р₂ - р₁) / (T₂ - T₁) = Δр/ΔT

Принимая предел как ΔT приближается к 0, мы достигаем мгновенная скоростьv. В исчислении это производная от р в отношении T, или dр/дт.

По мере уменьшения разницы во времени начальная и конечная точки сближаются. Поскольку направление р в том же направлении, что и vстановится ясно, что вектор мгновенной скорости в каждой точке вдоль пути касается пути.

Полезная особенность векторных величин заключается в том, что они могут быть разбиты на составляющие их векторы. Производная вектора является суммой составляющих его производных, поэтому:

v_Икс = дх/дт
v_Y = ду/дт

Величина вектора скорости определяется теоремой Пифагора в виде:

|v| = v = sqrt (v_Икс² + v_Y²)

Направление v ориентирован альфа градусов против часовой стрелки от Икс-компонентный, и может быть рассчитан из следующего уравнения:

загар альфа = v_Y / v_Икс

ускорение это изменение скорости за данный период времени. Аналогично приведенному выше анализу, мы находим, что это Δv/ΔT. Предел этого как ΔT приближается к 0 дает производную v в отношении T.

С точки зрения компонентов, вектор ускорения может быть записан как:

_Икс = DV_Икс/дт
_Y = DV_Y/дт

или

_Икс = d²Икс/дт²
_Y = d²Y/дт²

Величина и угол (обозначается как бета отличать от альфа) вектора чистого ускорения рассчитываются с использованием компонентов, аналогичных тем, которые используются для скорости.

Часто двумерная кинематика включает в себя разбиение соответствующих векторов на их Икс- и Y-компоненты, затем анализируют каждый из компонентов, как если бы они были одномерными случаями. Как только этот анализ завершен, компоненты скорости и / или ускорения затем объединяются, чтобы получить результирующие двумерные векторы скорости и / или ускорения.

Приведенные выше уравнения могут быть расширены для движения в трех измерениях путем добавления Z-компонент к анализу. Это, как правило, довольно интуитивно понятно, хотя необходимо убедиться, что это сделано в правильном формате, особенно в отношении вычисления угла ориентации вектора.

Отредактировано Энн Мари Хельменстин, доктор философии