Что такое распределение Коши

Одно распределение случайной величины важно не для ее приложений, а для того, что она говорит нам о наших определениях. Распределение Коши является одним из таких примеров, иногда упоминается как патологический пример. Причина этого заключается в том, что, хотя это распределение четко определено и связано с физическим явлением, распределение не имеет среднего значения или дисперсии. Действительно, эта случайная величина не обладает функция, генерирующая момент.

Мы определяем распределение Коши, рассматривая спиннер, такой как тип в настольной игре. Центр этого блесны будет закреплен на Y ось в точке (0, 1). После вращения прядильщика, мы продолжим линейный отрезок прядильщика, пока он не пересечет ось х. Это будет определено как наша случайная величина Икс.

Мы будем обозначать через w меньший из двух углов, которые вращатель делает с Y ось. Мы предполагаем, что этот блесна одинаково вероятно сформирует любой угол как другой, и поэтому W имеет равномерное распределение, которое колеблется от -π / 2 до π / 2.

Базовая тригонометрия дает нам связь между нашими двумя случайными переменными:

Икс = загарW.

Кумулятивная функция распределенияИксполучается следующим образом:

ЧАС(Икс) = п(Икс < Икс) = п(загарW < Икс) = п(W < агсИкс)

Затем мы используем тот факт, чтоW является однородным, и это дает нам:

ЧАС(Икс) = 0.5 + (агсИкс)/π

Чтобы получить функцию плотности вероятности, мы дифференцируем функцию кумулятивной плотности. Результат час(х) = 1/[π (1 + Икс²) ]

Что делает распределение Коши интересным, так это то, что, хотя мы определили его, используя физическую систему случайный спиннер, случайная величина с распределением Коши не имеет среднего значения, дисперсии или момента генерации функция. Все из моменты о происхождении, которые используются для определения этих параметров, не существует.

Начнем с рассмотрения среднего. Среднее значение определяется как ожидаемое значение нашей случайной величины, поэтому E [Икс] = ∫_-∞^∞Икс /[π (1 + Икс²)] dИкс.

Мы интегрируем с помощью замена. Если мы установим U = 1 +Икс² тогда мы видим, что дU = 2Икс dИкс. После подстановки полученный неправильный интеграл не сходится. Это означает, что ожидаемое значение не существует, а среднее значение не определено.

Точно так же функция создания дисперсии и момента не определена.

Распределение Коши названо по имени французского математика Августина-Луи Коши (1789 - 1857). Несмотря на то, что этот дистрибутив назван по имени Коши, информация о распределении была впервые опубликована Пуассон.