Теория множеств является фундаментальной концепцией всей математики. Эта отрасль математики является основой для других тем.
Интуитивно понятно, что набор - это набор объектов, которые называются элементами. Хотя это кажется простой идеей, она имеет некоторые далеко идущие последствия.
элементы
Элементы набора могут быть действительно чем угодно - числа, состояния, автомобили, люди или даже другие наборы - все возможности элементов Почти все, что может быть собрано вместе, может быть использовано для формирования набора, хотя есть некоторые вещи, с которыми мы должны быть осторожны.
Равные Наборы
Элементы набора находятся либо в наборе, либо не в наборе. Мы можем описать набор с помощью определяющего свойства, или мы можем перечислить элементы в наборе. Порядок их перечисления не важен. Таким образом, наборы {1, 2, 3} и {1, 3, 2} являются равными наборами, поскольку оба они содержат одинаковые элементы.
Два специальных набора
Два комплекта заслуживают отдельного упоминания. Первый универсальный набор, обычно обозначаемый
U. Этот набор - все элементы, которые мы можем выбрать. Этот набор может отличаться от одного параметра к другому. Например, один универсальный набор может быть набором вещественные числа тогда как для другой задачи универсальным множеством могут быть целые числа {0, 1, 2, ...}.Другой набор, который требует некоторого внимания, называется пустой набор. Пустой набор - это уникальный набор, это набор без элементов. Мы можем записать это как {} и обозначить это множество символом ∅.
Подмножества и Набор Питания
Коллекция некоторых элементов набора называется подмножество из . Мы говорим, что это подмножество В если и только если каждый элемент также является элементом В. Если есть конечное число N элементов в наборе, то в общей сложности 2N подмножества . Эта коллекция всех подмножеств это набор, который называется набор мощности из .
Операции над множествами
Так же, как мы можем выполнять такие операции, как сложение - для получения нового числа с двумя числами, теоретико-множественные операции используются для формирования множества из двух других множеств. Существует ряд операций, но почти все они состоят из следующих трех операций:
- союз - Союз означает объединение. Союз множеств и В состоит из элементов, которые находятся либо в или В.
- пересечение - На пересечении встречаются две вещи. Пересечение множеств и В состоит из элементов, которые в обоих и В.
- комплемент - Дополнение к набору состоит из всех элементов в универсальном наборе, которые не являются элементами .
Диаграммы Венна
Один инструмент, который полезен в изображении отношений между различными наборами, называется диаграммой Венна. Прямоугольник представляет собой универсальный набор для нашей задачи. Каждый набор представлен кружком. Если круги перекрываются друг с другом, то это иллюстрирует пересечение наших двух множеств.
Приложения теории множеств
Теория множеств используется во всей математике. Он используется в качестве основы для многих подполей математики. В областях, относящихся к статистике, это особенно используется в вероятности. Большая часть понятий в вероятности происходят из последствий теории множеств. Действительно, один из способов заявить аксиомы вероятности включает в себя теорию множеств.