Факториал (!) В математике и статистике

В математике символы, которые имеют определенные значения в английском языке может означать очень специализированные и разные вещи. Например, рассмотрим следующее выражение:

3!

Нет, мы не использовали восклицательный знак чтобы показать, что мы взволнованы тремя, и мы не должны читать последнее предложение с акцентом. В математике выражение 3! читается как «три факториала» и действительно является кратким способом обозначения умножения нескольких последовательных целых чисел.

Поскольку в математике и статистике есть много мест, где нам нужно умножать числа вместе, факториал весьма полезен. Некоторые из основных мест, где это проявляется, это комбинаторика и вероятность исчисление.

Определение факториала таково, что для любого положительного целого числа NФакториал:

N! = n x (n -1) x (n - 2) x... х 2 х 1

Сначала мы рассмотрим несколько примеров факториала с небольшими значениями N:

• 1! = 1
• 2! = 2 х 1 = 2
• 3! = 3 х 2 х 1 = 6
• 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24
• 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120
instagram viewer
• 6! = 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720
• 7! = 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 5040
• 8! = 8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 40320
• 9! = 9 х 8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Как мы видим, факториал очень быстро становится очень большим. Что-то, что может показаться маленьким, например, 20! на самом деле имеет 19 цифр.

Факториалы легко вычислить, но они могут быть несколько утомительными для вычисления. К счастью, многие калькуляторы имеют факториальный ключ (ищите! символ). Эта функция калькулятора автоматизирует умножения.

Еще одно значение факториала и значение, для которого стандартное определение выше не имеет места, - это нулевой факториал. Если мы будем следовать формуле, то не получим никакого значения для 0!. Нет положительных целых чисел меньше 0. По нескольким причинам целесообразно определить 0! = 1. Факториал для этого значения особенно проявляется в формулах для комбинации и перестановки.

При работе с вычислениями важно подумать, прежде чем нажимать клавишу факториала на нашем калькуляторе. Для вычисления выражения, такого как 100! / 98! Есть несколько разных способов сделать это.

Одним из способов является использование калькулятор найти оба 100! и 98!, затем разделите одно на другое. Хотя это прямой способ расчета, с ним связаны некоторые трудности. Некоторые калькуляторы не могут обрабатывать выражения размером до 100! = 9,33262154 х 10¹⁵⁷. (Выражение 10¹⁵⁷ это научное обозначение, которое означает, что мы умножаем на 1, а затем 157 нулей.) Мало того, что это число является массивным, но это также только оценка к реальному значению 100!

Другой способ упростить выражение с помощью факториалов, подобный тому, который мы здесь видим, совсем не требует калькулятора. Чтобы решить эту проблему, нужно признать, что мы можем переписать 100! не так, как 100 х 99 х 98 х 97 х... х 2 х 1, но вместо 100 х 99 х 98! Выражение 100! / 98! теперь становится (100 х 99 х 98!) / 98! = 100 х 99 = 9900.