Определение и использование союза в математике

Одна операция, которая часто используется для формирования новых множеств из старых, называется объединением. В общем использовании слово союз означает объединение, такое как союзы в организованном труде или Государство союза адрес, который США президент выносит на совместное заседание Конгресса. В математическом смысле объединение двух множеств сохраняет идею объединения. Точнее, объединение двух множеств а также В это набор всех элементов Икс такой, что Икс является элементом множества или Икс является элементом множества В. Слово, которое означает, что мы используем союз, - это слово «или».

Когда мы используем слово «или» в повседневных разговорах, мы можем не понимать, что это слово используется двумя различными способами. Путь обычно выводится из контекста разговора. Если бы вас спросили: «Хотите курицу или стейк?» обычно подразумевается, что у вас может быть один или другой, но не оба. Сравните это с вопросом: «Хотите ли вы сливочное масло или сметану на печеную картошку?» Здесь «или» используется в том смысле, что вы можете выбрать только сливочное масло, только сметану или сливочное и кислое крем.

В математике слово «или» используется в инклюзивном смысле. Итак, утверждение "Икс является элементом или элемент В«означает, что возможно одно из трех:

• Икс это элемент просто а не элемент В
• Икс это элемент просто В а не элемент .
• Икс является элементом обоих а также В. (Мы могли бы также сказать, что Икс является элементом пересечения а также В

Для примера того, как объединение двух наборов образует новый набор, давайте рассмотрим наборы = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Чтобы найти объединение этих двух наборов, мы просто перечисляем каждый элемент, который видим, стараясь не дублировать какие-либо элементы. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 находятся либо в одном наборе, либо в другом, поэтому объединение а также В это {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

В дополнение к пониманию концепций, касающихся операций теории множеств, важно уметь читать символы, используемые для обозначения этих операций. Символ, используемый для объединения двух наборов а также В дан кем-то ∪ В. Один из способов запомнить символ ∪, относящийся к союзу, - это заметить его сходство с заглавной буквой U, которая сокращение от слова «союз». Будьте осторожны, потому что символ объединения очень похож на символ пересечение. Один получается из другого с помощью вертикального переворота.

Чтобы увидеть эту запись в действии, вернитесь к приведенному выше примеру. Здесь у нас были наборы = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Таким образом, мы бы написать уравнение ∪ В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Одна базовая идентификация, которая включает объединение, показывает нам, что происходит, когда мы берем объединение любого набора с пустым набором, обозначенным # 8709. Пустой набор - это набор без элементов. Таким образом, присоединение этого к любому другому набору не будет иметь никакого эффекта. Другими словами, объединение любого набора с пустым набором вернет нам исходный набор

Эта идентичность становится еще более компактной с использованием нашей записи. У нас есть личность: ∪ ∅ = .

Для другой крайности, что происходит, когда мы исследуем объединение множества с универсальным набором? Поскольку универсальный набор содержит каждый элемент, мы не можем добавить к этому больше ничего. Таким образом, объединение или любой набор с универсальным набором является универсальным набором.

Опять же, наша запись помогает нам выразить эту идентичность в более компактном формате. Для любого набора и универсальный набор U, ∪ U = U.

Существует множество других идентификаторов, которые включают использование операции объединения. Конечно, всегда хорошо практика используя язык теории множеств. Некоторые из наиболее важных из них указаны ниже. Для всех комплектов , а также В а также D у нас есть:

• Рефлексивная собственность: ∪ =
• Коммутативная собственность: ∪ В = В ∪
• Ассоциативная собственность: ( ∪ В) ∪ D = ∪ (В ∪ D)
• Закон Деморгана I: ( ∩ В)^С = ^С ∪ В^С
• Закон Деморгана II: ( ∪ В)^С = ^С ∩ В^С