Во всей математике и статистике нам нужно уметь считать. Это особенно верно для некоторых вероятность проблемы. Предположим, нам дано всего N отдельные объекты и хотите выбрать р их. Это непосредственно касается области математики, известной как комбинаторика, которая является изучением счета. Два основных способа подсчитать эти р объекты из N элементы называются перестановками и комбинациями. Эти понятия тесно связаны друг с другом и легко путаются.
В чем разница между комбинацией и перестановкой? Ключевая идея - идея порядка. Перестановка обращает внимание на порядок, в котором мы выбираем наши объекты. Один и тот же набор объектов, но взятый в другом порядке, даст нам различные перестановки. С помощью комбинации мы по-прежнему выбираем р объекты из общего числа N, но порядок больше не рассматривается.
Пример перестановок
Чтобы различать эти идеи, рассмотрим следующий пример: сколько существует перестановок двух букв из множества {а, б, в}?
Здесь мы перечисляем все пары элементов из данного набора, все время обращая внимание на порядок. Всего существует шесть перестановок. Список всех этих: ab, ba, bc, cb, ac и ca. Обратите внимание, что в качестве перестановок
аб и ба разные, потому что в одном случае был выбран первым, а в другом был выбран вторым.Пример комбинаций
Теперь мы ответим на следующий вопрос: сколько комбинаций из двух букв из множества {а, б, в}?
Поскольку мы имеем дело с комбинациями, мы больше не заботимся о порядке. Мы можем решить эту проблему, оглянувшись на перестановки, а затем исключив те, которые содержат одинаковые буквы. Как комбинации, аб и ба считаются одинаковыми. Таким образом, есть только три комбинации: ab, ac и bc.
Формулы
Для ситуаций, с которыми мы сталкиваемся с большими наборами, слишком много времени занимает перечисление всех возможных перестановок или комбинаций и подсчет конечного результата. К счастью, есть формулы, которые дают нам количество перестановок или комбинаций N взятые объекты р вовремя.
В этих формулах мы используем сокращенное обозначение N! называется Nфакториал. Факториал просто говорит, чтобы умножить все положительные целые числа меньше или равно N вместе. Так, например, 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24. По определению 0! = 1.
Количество перестановок N взятые объекты р на время дается формула:
п(N,р) = N!/(N - р)!
Количество комбинаций N взятые объекты р на время дается формула:
С(N,р) = N!/[р!(N - р)!]
Формулы на работе
Чтобы увидеть формулы в действии, давайте посмотрим на первоначальный пример. Количество перестановок набора из трех объектов, взятых по два за один раз, определяется как п(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Это точно соответствует тому, что мы получили, перечислив все перестановки.
Количество комбинаций набора из трех объектов, взятых по два за раз, определяется как:
С(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Опять же, это точно соответствует тому, что мы видели раньше.
Формулы определенно экономят время, когда нас просят найти число перестановок большего набора. Например, сколько перестановок существует из набора из десяти объектов, взятых по три одновременно? Потребуется некоторое время, чтобы перечислить все перестановки, но с формулами, мы видим, что будет:
п(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 х 9 х 8 = 720 перестановок.
Главная идея
В чем разница между перестановками и комбинациями? Суть в том, что при подсчете ситуаций, связанных с порядком, следует использовать перестановки. Если порядок не важен, то следует использовать комбинации.