Вероятность прокатки яхтзе

Yahtzee - игра в кости, включающая комбинацию случая и стратегии. Игрок начинает свой ход, бросая пять кубиков. После этого броска игрок может решить перебросить любое количество кубиков. Максимум, есть три броска за каждый ход. После этих трех бросков результат игры в кости заносится в таблицу результатов. Этот оценочный лист содержит различные категории, такие как Аншлаг или большой прямой. Каждая из категорий удовлетворена различными комбинациями игральных костей.

Самая сложная категория для заполнения - это категория Яхтзе. Yahtzee происходит, когда игрок бросает пять из того же числа. Насколько маловероятен Yahtzee? Эта проблема гораздо сложнее, чем поиск вероятностей для два или даже три кубика. Основная причина в том, что существует множество способов получить пять совпадающих кубиков за три броска.

Мы можем вычислить вероятность броска Яхтце, используя формулу комбинаторики для комбинаций и разбив задачу на несколько взаимоисключающий случаев.

Самый простой случай для рассмотрения - получить Yahtzee сразу после первого броска. Сначала мы посмотрим на

Вероятность выпадения двух равна 1/6, и результат каждого кубика не зависит от остальных. Таким образом, вероятность выпадения пяти двойок составляет (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Вероятность выпадения пяти видов любого другого числа также равна 1/7776. Поскольку на кристалле всего шесть разных чисел, мы умножаем вышеуказанную вероятность на 6.

Это означает, что вероятность Yahtzee на первом броске составляет 6 х 1/7776 = 1/1296 = 0,08 процента.

Если мы бросим что-то, кроме пяти, типа первого броска, нам нужно будет перебросить некоторые из наших кубиков, чтобы попытаться получить Yahtzee. Предположим, что наш первый бросок имеет четыре вида. мы перебрасываем один кубик, который не соответствует, и затем получаем Yahtzee на этом втором броске.

Вероятность выпадения пяти двойок таким образом определяется следующим образом:

1. На первом броске у нас четыре пары. Поскольку существует вероятность 1/6 бросить два, и 5/6 не бросить два, мы умножаем (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Любой из пяти игра в кости может быть не двое. Мы используем нашу формулу комбинации для C (5, 1) = 5, чтобы подсчитать, сколько способов мы можем бросить четыре пары и что-то, что не два.
3. Умножаем и видим, что вероятность выпадения ровно четырех двойок за первый бросок составляет 25/7776.
4. На втором броске нам нужно вычислить вероятность броска одного два. Это 1/6. Таким образом, вероятность того, что Яхтзее покатится вдвоем описанным выше способом, равна (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Чтобы найти вероятность броска любого Yahtzee таким способом, нужно умножить вышеупомянутую вероятность на 6, потому что на кристалле есть шесть различных чисел. Это дает вероятность 6 х 25/46656 = 0,32 процента.

Но это не единственный способ раскрутить Яхтце с двумя рулонами. Все следующие вероятности находятся во многом так же, как указано выше:

• Мы могли бы бросить три вида, а затем два кубика, которые соответствуют нашему второму броску. Вероятность этого составляет 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 процента.
• Мы могли бы бросить подходящую пару, и на нашем втором броске три кубика, которые совпадают. Вероятность этого составляет 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 процента.
• Мы можем бросить пять разных кубиков, сохранить один кубик из нашего первого броска, а затем бросить четыре кубика, которые совпадают во втором броске. Вероятность этого составляет (6! / 7776) х (1/1296) = 0,01 процента.

Вышеуказанные случаи являются взаимоисключающими. Это означает, что для расчета вероятности раскатывания Яхтзе за два броска мы сложим вышеупомянутые вероятности вместе, и у нас получится приблизительно 1,23 процента.

Для самой сложной ситуации сейчас мы рассмотрим случай, когда мы используем все три наших броска, чтобы получить Яхце. Мы могли бы сделать это несколькими способами и должны учитывать все из них.

Вероятности этих возможностей рассчитываются ниже:

• Вероятность бросить четыре вида, а затем ничего, а затем сопоставить последний кубик на последнем броске, составляет 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 процентов.
• Вероятность того, что в последнем броске выпадет три вида, затем ничего, а затем совпадение с правильной парой, составляет 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 процента.
• Вероятность выпадения совпадающей пары, затем ничего, а затем совпадения с правильной тройкой на третьем броске составляет 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 процента.
• Вероятность броска одного кубика, затем ничего не соответствующего этому, а затем совпадения с правильными четырьмя типами на третьем броске составляет (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 процента.
• Вероятность бросить три вида, соответствующие дополнительному кубику на следующем броске, с последующим соответствие пятого штампа на третьем броске составляет 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 процентов.
• Вероятность броска пары, сопоставления дополнительной пары на следующем броске с последующим сопоставлением пятый штамп на третьем броске составляет 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 процентов.
• Вероятность броска пары, соответствующей дополнительному кубику на следующем броске, с последующим сопоставлением последние два кубика на третьем броске составляют 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 процента.
• Вероятность броска одного вида, другого кубика, соответствующего ему во втором броске, а затем тройки в третьем броске равна (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) х (1/216) = 0,01 процента.
• Вероятность того, что на втором броске выпадет единственная в своем роде комбинация тройки, после которой на третьем броске последуют совпадения, равна (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 процента.
• Вероятность выпадения единственного в своем роде пары, которая соответствует ему во втором броске, а затем другой пары, которая соответствует третьему броску, равна (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 процента.

Мы складываем все вышеупомянутые вероятности вместе, чтобы определить вероятность того, что Яхце бросит три броска костей. Эта вероятность составляет 3,43 процента.

Вероятность Yahtzee в одном броске составляет 0,08 процента, вероятность Yahtzee в двух бросках составляет 1,23 процента, а вероятность Yahtzee в трех бросках составляет 3,43 процента. Поскольку каждый из них является взаимоисключающим, мы складываем вероятности вместе. Это означает, что вероятность получения Yahtzee в данный ход составляет примерно 4,74 процента. Чтобы представить это в перспективе, так как 1/21 составляет приблизительно 4,74 процента, случайно игрок должен ожидать Yahtzee один раз каждые 21 ход. На практике это может занять больше времени, так как исходная пара может быть отброшена, чтобы бросить что-то еще, например Прямо.