Какие моменты в статистике?

Моменты в математической статистике предполагают базовый расчет. Эти расчеты можно использовать для нахождения среднего распределения вероятностей, дисперсии и асимметрии.

Предположим, что у нас есть набор данных с общим Nдискретный точки. Один важный расчет, который на самом деле состоит из нескольких чисел, называется sМомент sмомент набора данных со значениями Икс₁, Икс₂, Икс₃,..., Икс_N дается по формуле:

(Икс₁^s + Икс₂^s + Икс₃^s +... + Икс_N^s)/N

Использование этой формулы требует, чтобы мы были осторожны с нашим порядком операций. Нам нужно сначала сделать экспоненты, добавить, а затем разделить эту сумму на N общее количество значений данных.

Срок момент был взят из физики. В физике момент системы точечных масс вычисляется по формуле, идентичной приведенной выше, и эта формула используется для нахождения центра масс точек. В статистике значения больше не являются массами, но, как мы увидим, моменты в статистике по-прежнему измеряют что-то относительно центра значений.

На первый момент мы устанавливаем s = 1. Формула для первого момента такова:

(Икс₁Икс₂ + Икс₃ +... + Икс_N)/N

Это идентично формуле для образца жадный.

Первый момент значений 1, 3, 6, 10 равен (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

На второй момент мы устанавливаем s = 2. Формула для второго момента:

(Икс₁² + Икс₂² + Икс₃² +... + Икс_N²)/N

Второй момент значений 1, 3, 6, 10 равен (1² + 3² + 6² + 10²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.

На третий момент мы устанавливаем s = 3. Формула для третьего момента:

(Икс₁³ + Икс₂³ + Икс₃³ +... + Икс_N³)/N

Третий момент значений 1, 3, 6, 10 равен (1³ + 3³ + 6³ + 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.

Более высокие моменты могут быть рассчитаны аналогичным образом. Просто замени s в приведенной выше формуле с номером, обозначающим нужный момент.

Родственная идея - идея sмомент о среднем. В этом расчете мы выполняем следующие шаги:

1. Сначала вычислите среднее значение.
2. Затем вычтите это среднее значение из каждого значения.
3. Затем поднять каждое из этих различий до sсила
4. Теперь сложите числа из шага № 3 вместе.
5. Наконец, разделите эту сумму на число значений, с которых мы начали.

Формула для sмомент о среднем м значений значений Икс₁, Икс₂, Икс₃,..., Икс_N дан кем-то:

м_s = ((Икс₁ - м)^s + (Икс₂ - м)^s + (Икс₃ - м)^s +... + (Икс_N - м)^s)/N

Первый момент о среднем всегда равен нулю, независимо от того, с каким набором данных мы работаем. Это можно увидеть в следующем:

м₁ = ((Икс₁ - м) + (Икс₂ - м) + (Икс₃ - м) +... + (Икс_N - м))/N = ((Икс₁+ Икс₂ + Икс₃ +... + Икс_N) - нм)/N = м - м = 0.

Второй момент о среднем получается из приведенной выше формулы путем установкиs = 2:

м₂ = ((Икс₁ - м)² + (Икс₂ - м)² + (Икс₃ - м)² +... + (Икс_N - м)²)/N

Эта формула эквивалентна формуле для выборочной дисперсии.

Например, рассмотрим набор 1, 3, 6, 10. Мы уже вычислили среднее значение этого набора равным 5. Вычтите это из каждого значения данных, чтобы получить различия:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

Мы возводим в квадрат каждое из этих значений и складываем их вместе: (-4)² + (-2)² + 1² + 5² = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Наконец, разделите это число на количество точек данных: 46/4 = 11,5

Как упоминалось выше, первый момент - это среднее значение, а второй момент - это выборка. дисперсия. Карл Пирсон ввел использование третьего момента о среднем в расчете перекос и четвертый момент о среднем в расчете эксцесс.