Что такое петербургский парадокс?

Вы находитесь на улицах Санкт-Петербурга, Россия, и старик предлагает следующую игру. Он подбрасывает монету (и одолжит одну из ваших, если вы не верите, что он справедливый). Если он приземляется, то вы проигрываете, и игра окончена. Если монета выпадает хедз-ап, вы выигрываете один рубль, и игра продолжается. Монета снова брошена. Если это хвосты, то игра заканчивается. Если это головы, то вы выиграете еще два рубля. Игра продолжается таким образом. За каждую последующую голову мы удваиваем наши выигрыши из предыдущего раунда, но при знаке первого хвоста игра закончена.

Сколько бы вы заплатили, чтобы играть в эту игру? Когда мы рассматриваем ожидаемое значение В этой игре вы должны воспользоваться шансом, независимо от того, сколько стоит играть. Однако из приведенного выше описания вы, вероятно, не захотите платить много. В конце концов, 50% вероятности ничего не выиграть. Это то, что известно как Санкт-Петербургский парадокс, названный в связи с публикацией Даниэля Бернулли в 1738 году Комментарии Императорской Академии Наук Санкт-Петербурга.

Давайте начнем с расчета вероятности связано с этой игрой. Вероятность того, что честная монета приземлится, равна 1/2. Каждый бросок монеты является независимым событием, поэтому мы, возможно, умножаем вероятности с помощью древовидная диаграмма.

• Вероятность двух головок подряд равна (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Вероятность трех голов подряд: (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Выразить вероятность N головы подряд, где N является положительным целым числом, мы используем показатели для записи 1/2^N.

Теперь давайте продолжим и посмотрим, сможем ли мы обобщить, каким будет выигрыш в каждом раунде.

• Если у вас есть голова в первом раунде, вы выигрываете один рубль за этот раунд.
• Если во втором раунде есть голова, вы выигрываете два рубля в этом раунде.
• Если в третьем раунде есть голова, то в этом раунде вы выиграете четыре рубля.
• Если вам посчастливилось пройти весь путь до N^го раунд, тогда вы выиграете 2^н-1 рублей в этом раунде.

Ожидаемая ценность игры говорит нам о том, каким будет средний выигрыш, если вы играете в игру много, много раз. Чтобы рассчитать ожидаемое значение, мы умножаем значение выигрыша в каждом раунде с вероятностью попадания в этот раунд, а затем складываем все эти продукты вместе.

• С первого раунда у вас есть вероятность 1/2 и выигрыш 1 рубль: 1/2 x 1 = 1/2
• Со второго раунда у вас есть вероятность 1/4 и выигрыш 2 рубля: 1/4 x 2 = 1/2
• С первого раунда у вас есть вероятность 1/8 и выигрыш 4 рубля: 1/8 x 4 = 1/2
• С первого раунда у вас есть вероятность 1/16 и выигрыш 8 рублей: 1/16 x 8 = 1/2
• С первого раунда у вас есть вероятность 1/2^N и выигрыш 2^н-1 рублей: 1/2^N х 2^н-1 = 1/2

Значение каждого раунда равно 1/2, и суммируются результаты первого N раунды вместе дает нам ожидаемое значение N/ 2 руб. поскольку N может быть любым положительным целым числом, ожидаемое значение безгранично.

Так что вы должны заплатить, чтобы играть? Рубль, тысяча рублей или даже миллиард В конечном итоге все рубли будут меньше ожидаемого значения. Несмотря на вышеприведенные вычисления, обещающие неисчислимые богатства, мы все еще не хотели бы платить очень много, чтобы играть.

Есть множество способов разрешить парадокс. Одним из более простых способов является то, что никто не предложит игру, подобную той, что описана выше. Ни у кого нет бесконечных ресурсов, которые потребовались бы, чтобы заплатить тому, кто продолжал переворачивать головы.

Другой способ разрешить парадокс заключается в том, чтобы указать, как невероятно получить что-то вроде 20 голов подряд. шансы это происходит лучше, чем побеждать большинство государств розыгрыши. Люди обычно играют в такие лотереи за пять долларов или меньше. Таким образом, цена на игру в Санкт-Петербурге, вероятно, не должна превышать нескольких долларов.

Если человек в Санкт-Петербург говорит, что играть в его игру будет стоить всего несколько рублей, вы должны вежливо отказаться и уйти. Рубли в любом случае ничего не стоят.