Условная вероятность: обозначения и примеры

Простой пример условный вероятность вероятность того, что карта, взятая из стандартной колоды карт, является королем. Всего из 52 карт четыре короля, и поэтому вероятность просто 4/52. С этим расчетом связан следующий вопрос: «Какова вероятность того, что мы нарисуем короля, учитывая, что мы уже вытянули карту из колоды, и это туз? »Здесь мы рассмотрим содержимое колоды карты. Королей еще четыре, но теперь в колоде всего 51 карта. Вероятность розыгрыша короля с учетом того, что туз уже разыгран, равна 4/51.

Условная возможность определяется как вероятность события, учитывая, что произошло другое событие. Если мы назовем эти события и ВТогда мы можем говорить о вероятности данный В. Мы могли бы также сослаться на вероятность зависит от В.

Обозначение условной вероятности варьируется от учебника к учебнику. Во всех обозначениях указывается, что вероятность, на которую мы ссылаемся, зависит от другого события. Одно из самых распространенных обозначений вероятности данный В является P (A | B). Другое обозначение, которое используется п_В(А).

Существует формула для условной вероятности, которая связывает это с вероятностью и В:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

По сути, эта формула говорит о том, что для расчета условной вероятности события учитывая событие Вмы изменяем наше пробное пространство, чтобы оно состояло только из множества В. При этом мы не учитываем все события , но только часть это также содержится в В. Набор, который мы только что описали, можно определить в более привычных терминах как пересечение из и В.

Мы можем использовать алгебра выразить вышеприведенную формулу по-другому:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Мы вернемся к примеру, с которого начали в свете этой информации. Мы хотим знать вероятность розыгрыша короля, учитывая, что туз уже разыгран. Таким образом, событие это то, что мы рисуем короля. Событие В в том, что мы рисуем туза.

Вероятность того, что оба события произойдут, и мы рисуем туза, а затем короля, соответствует P (A ∩ B). Значение этой вероятности составляет 12/2652. Вероятность события ВТо, что мы рисуем туза, это 4/52. Таким образом, мы используем формулу условной вероятности и видим, что вероятность выпадения короля с заданным тузом равна (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Для другого примера мы рассмотрим вероятностный эксперимент, в котором мы бросить две кости. Вопрос, который мы могли бы задать: «Какова вероятность, что мы бросили три, учитывая, что мы бросили сумму меньше шести?»

Здесь событие это то, что мы бросили три, и событие В в том, что мы выкатили сумму меньше шести. Всего существует 36 способов бросить две кости. Из этих 36 способов мы можем вывести сумму менее шести десятью способами:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Есть несколько случаев, когда условная вероятность учитывая событие В равна вероятности . В этой ситуации мы говорим, что события и В не зависят друг от друга. Приведенная выше формула становится:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

и мы восстанавливаем формулу, что для независимых событий вероятность обоих и В определяется путем умножения вероятностей каждого из этих событий:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Когда два события независимы, это означает, что одно событие не влияет на другое. Подбрасывание одной монеты, а затем другой - пример независимых событий. Один бросок монеты не влияет на другой.

Будьте очень осторожны, чтобы определить, какое событие зависит от другого. В общем P (A | B) не равно P (B | A). Это вероятность учитывая событие В не совпадает с вероятностью В учитывая событие .

В приведенном выше примере мы видели, что при броске двух кубиков вероятность броска трех, учитывая, что мы бросили сумму меньше шести, была 4/10. С другой стороны, какова вероятность бросить сумму меньше шести, учитывая, что мы бросили три? Вероятность бросить три и сумму меньше шести составляет 4/36. Вероятность выпадения хотя бы одной тройки равна 11/36. Таким образом, условная вероятность в этом случае составляет (4/36) / (11/36) = 4/11.