Как использовать правило дополнения в статистике

В статистике правило дополнения является теоремой, которая обеспечивает связь между вероятностью событие и вероятность дополнения события таким образом, что если мы знаем одну из этих вероятностей, то мы автоматически знаем другую.

Правило дополнения пригодится, когда мы вычисляем определенные вероятности. Во многих случаях вероятность события запутана или сложна для вычисления, тогда как вероятность его дополнения намного проще.

Прежде чем мы увидим, как используется правило дополнения, мы определим, что это за правило. Начнем с небольшого количества обозначений. Дополнение мероприятия , состоящий из всех элементов в пробное пространствоS которые не являются элементами множества , обозначается C.

Правило дополнения определяется как «сумма вероятности события и вероятности его дополнения равна 1», выраженная следующим уравнением:

П(^С) = 1 - P ()

Следующий пример покажет, как использовать правило дополнения. Становится очевидным, что эта теорема ускорит и упростит вычисления вероятностей.

Предположим, что мы подбрасываем восемь честных монет - какова вероятность, что у нас будет хотя бы одна голова? Одним из способов выяснить это является вычисление следующих вероятностей. Знаменатель каждого объясняется тем, что есть 2⁸ = 256 результатов, каждый из которых одинаково вероятен. Все следующие нам формулы для комбинации:

• Вероятность перевернуть ровно одну голову составляет C (8,1) / 256 = 8/256.
• Вероятность переворота ровно двух голов составляет C (8,2) / 256 = 28/256.
• Вероятность подбрасывания ровно трех голов составляет C (8,3) / 256 = 56/256.
• Вероятность переворачивания ровно четырех голов составляет C (8,4) / 256 = 70/256.
• Вероятность подбрасывания ровно пяти голов составляет C (8,5) / 256 = 56/256.
• Вероятность подбрасывания ровно шести голов составляет C (8,6) / 256 = 28/256.
• Вероятность переворачивания ровно семи голов составляет C (8,7) / 256 = 8/256.
• Вероятность подбрасывания ровно восьми голов составляет C (8,8) / 256 = 1/256.

Эти взаимоисключающий события, поэтому мы суммируем вероятности вместе, используя один соответствующий правило сложения. Это означает, что вероятность того, что у нас будет хотя бы одна голова, равна 255 из 256.

Теперь мы рассчитываем ту же вероятность, используя правило дополнения. Дополнением к акции «Мы переворачиваем хотя бы одну голову» является акция «Там нет головы». Есть один способ для этого, дающий нам вероятность 1/256. Мы используем правило дополнения и находим, что наша желаемая вероятность равна одному минус один из 256, что равно 255 из 256.

Этот пример демонстрирует не только полезность, но и силу правила дополнения. Хотя в нашем первоначальном расчете нет ничего плохого, он был довольно сложным и требовал нескольких шагов. Напротив, когда мы использовали правило дополнения для этой задачи, было не так много шагов, где вычисления могли бы пойти не так, как надо.