Как доказать правило дополнения в вероятности

Несколько теорем о вероятности можно вывести из аксиомы вероятности. Эти теоремы могут быть применены для расчета вероятностей, которые мы можем захотеть узнать. Один такой результат известен как правило дополнения. Это утверждение позволяет нам рассчитать вероятность событие зная вероятность дополнения ^С. Изложив правило дополнения, мы увидим, как этот результат может быть доказан.

Дополнение мероприятия обозначается ^С. Дополнение это устанавливать всех элементов в универсальном наборе, или пробное пространство S, которые не являются элементами множества .

Правило дополнения выражается следующим уравнением:

П(^С) = 1 - P ()

Здесь мы видим, что вероятность события и вероятность его дополнения должны составлять 1.

Чтобы доказать правило дополнения, мы начнем с аксиом вероятности. Эти утверждения предполагаются без доказательств. Мы увидим, что их можно систематически использовать для доказательства нашего утверждения о вероятности дополнения события.

• Первая аксиома вероятности состоит в том, что вероятность любого события неотрицательна настоящий номер.
• Вторая аксиома вероятности состоит в том, что вероятность всего выборочного пространства S является одним. Символически мы пишем P (S) = 1.
• Третья аксиома вероятности утверждает, что если и В взаимоисключающие (это означает, что они имеют пустое пересечение), то мы утверждаем вероятность объединение этих событий как P ( U В ) = P () + P (В).

Для правила дополнения нам не нужно использовать первую аксиому в списке выше.

Чтобы доказать наше утверждение, мы рассмотрим события и ^С. Из теории множеств мы знаем, что эти два множества имеют пустое пересечение. Это потому, что элемент не может быть одновременно в обоих и не в . Поскольку существует пустое пересечение, эти два набора взаимоисключающий.

Союз двух событий и ^С также важны. Это исчерпывающие события, означающие, что союз из этих событий все пространство образца S.

Эти факты в сочетании с аксиомами дают нам уравнение

1 = P (S) = P ( U ^С) = P () + P (^С) .

Первое равенство обусловлено второй аксиомой вероятности. Второе равенство, потому что события и ^С являются исчерпывающими. Третье равенство обусловлено третьей аксиомой вероятности.

Приведенное выше уравнение можно переставить в форму, которую мы указали выше. Все, что мы должны сделать, это вычесть вероятность с обеих сторон уравнения. таким образом

1 = P () + P (^С)

становится уравнением

П(^С) = 1 - P ().

Конечно, мы могли бы также выразить правило, заявив, что:

П() = 1 - P (^С).

Все эти три уравнения являются эквивалентными способами сказать одно и то же. Из этого доказательства мы видим, что только две аксиомы и некоторая теория множеств имеют большое значение, чтобы помочь нам доказать новые утверждения, касающиеся вероятности.