Вероятность объединения 3 или более комплектов

Когда два события взаимоисключающийвероятность их союз можно рассчитать с правило сложения. Мы знаем, что для броска кубика бросок числа больше четырех или числа меньше трех является взаимоисключающим событием, не имеющим ничего общего. Таким образом, чтобы найти вероятность этого события, мы просто добавляем вероятность того, что мы бросаем число больше четырех, к вероятности того, что мы бросим число меньше трех. В символах мы имеем следующее, где столица п обозначает «вероятность»:

п(больше четырех или меньше трех) = п(больше четырех) + п(менее трех) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Если события не взаимоисключающие, тогда мы не просто складываем вероятности событий вместе, но нам нужно вычесть вероятность пересечение событий. Учитывая события и В:

п( U В) = п() + п(В) - п( ∩ В).

Здесь мы учитываем возможность двойного учета тех элементов, которые находятся в обоих и Ви именно поэтому мы вычитаем вероятность пересечения.

В связи с этим возникает вопрос: «Зачем останавливаться на двух подходах? Какова вероятность объединения более двух множеств? »

Мы расширим вышеприведенные идеи в ситуации, когда у нас есть три набора, которые мы обозначим , В, и С. Мы не будем предполагать ничего более этого, поэтому существует вероятность того, что множества имеют непустое пересечение. Целью будет подсчитать вероятность из объединения этих трех наборов, или п ( U В U С).

Вышеприведенное обсуждение для двух наборов остается в силе. Мы можем сложить вероятности отдельных множеств , В, и С, но при этом мы дважды посчитали некоторые элементы.

Элементы на пересечении и В были дважды учтены, как и раньше, но теперь есть и другие элементы, которые потенциально были учтены дважды. Элементы на пересечении и С и на пересечении В и С теперь также были учтены дважды. Итак вероятности из этих пересечений также должны быть вычтены.

Но мы вычли слишком много? Есть что-то новое, что нужно учитывать, и нам не нужно было беспокоиться, когда было только два набора. Точно так же, как любые два набора могут иметь пересечение, все три набора также могут иметь пересечение. Пытаясь удостовериться, что мы ничего не учитывали дважды, мы не учли все те элементы, которые обнаруживаются во всех трех наборах. Таким образом, вероятность пересечения всех трех множеств должна быть добавлена ​​обратно.

Вот формула, полученная из приведенного выше обсуждения:

п ( U В U С) = п() + п(В) + п(С) - п( ∩ В) - п( ∩ С) - п(В ∩ С) + п( ∩ В ∩ С)

Чтобы увидеть формулу для вероятности объединения трех множеств, предположим, что мы играем в настольную игру, которая включает бросать два кубика. По правилам игры нам нужно получить хотя бы один из кубиков, чтобы выиграть два, три или четыре. Какова вероятность этого? Заметим, что мы пытаемся вычислить вероятность объединения трех событий: бросить хотя бы одно два, бросить хотя бы одну три, бросить хотя бы одну четверку. Таким образом, мы можем использовать приведенную выше формулу со следующими вероятностями:

• Вероятность выпадения двух равна 11/36. Числитель здесь исходит из того факта, что есть шесть результатов, в которых первый кубик равен двум, шесть, в котором второй кубик равен двум, и один результат, когда оба кубика равны двум. Это дает нам 6 + 6 - 1 = 11.
• Вероятность выпадения тройки равна 11/36 по той же причине, что и выше.
• Вероятность выпадения четверки равна 11/36 по той же причине, что и выше.
• Вероятность бросить два и три составляет 2/36. Здесь мы можем просто перечислить возможности, два могут прийти первыми или могут прийти вторыми.
• Вероятность выпадения двух и четырех равна 2/36, по той же причине, что вероятность двух и трех равна 2/36.
• Вероятность бросить два, три и четыре равна 0, потому что мы бросаем только два кубика, и невозможно получить три числа с двумя кубиками.

Теперь мы используем формулу и видим, что вероятность получить по крайней мере два, три или четыре

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Причина, по которой формула для вероятности объединения четырех множеств имеет вид, аналогична рассуждению для формулы для трех множеств. По мере увеличения числа наборов увеличивается также количество пар, троек и так далее. С четырьмя наборами есть шесть попарных пересечений, которые необходимо вычесть, четыре тройных пересечения, чтобы добавить обратно, и теперь четверное пересечение, которое нужно вычесть. Учитывая четыре комплекта , В, С и Dформула объединения этих множеств выглядит следующим образом:

п ( U В U С U D) = п() + п(В) + п(С) +п(D) - п( ∩ В) - п( ∩ С) - п( ∩ D)- п(В ∩ С) - п(В ∩ D) - п(С ∩ D) + п( ∩ В ∩ С) + п( ∩ В ∩ D) + п( ∩ С ∩ D) + п(В ∩ С ∩ D) - п( ∩ В ∩ С ∩ D).

Мы могли бы написать формулы (которые выглядели бы даже более страшными, чем приведенная выше) для вероятности объединения более четырех наборов, но при изучении приведенных выше формул мы должны заметить некоторые закономерности. Эти шаблоны применяются для расчета союзов более четырех наборов Вероятность объединения любого числа множеств может быть найдена следующим образом:

1. Добавьте вероятности отдельных событий.
2. Вычесть вероятности пересечений каждой пары событий.
3. Добавьте вероятности пересечения каждого набора из трех событий.
4. Вычтите вероятности пересечения каждого набора из четырех событий.
5. Продолжайте этот процесс, пока последняя вероятность не станет вероятностью пересечения общего числа наборов, с которых мы начали.