Вероятность случайного выбора простого числа

Теория чисел является отраслью математика это касается набора целых чисел. Делая это, мы ограничиваемся, поскольку не изучаем непосредственно другие числа, такие как иррациональные числа. Тем не менее, другие типы вещественные числа используются. В дополнение к этому предмет вероятности имеет много связей и пересечений с теорией чисел. Одна из этих связей связана с распределением простые числа. Более конкретно мы можем спросить, какова вероятность того, что случайно выбранное целое число от 1 до Икс такое простое число?

Как и в случае любой математической проблемы, важно понимать не только те предположения, которые сделаны, но также и определения всех ключевых терминов в проблеме. Для этой задачи мы рассматриваем натуральные числа, то есть целые числа 1, 2, 3,. .. до некоторого числа Икс. Мы случайным образом выбираем одно из этих чисел, а это означает, что все Икс из них в равной степени могут быть выбраны.

Мы пытаемся определить вероятность того, что выбрано простое число. Таким образом, нам нужно понять определение простого числа. Простое число - это положительное целое число, которое имеет ровно два фактора. Это означает, что единственными делителями простых чисел являются один и само число. Итак, 2,3 и 5 - простые числа, но 4, 8 и 12 - не простые. Отметим, что поскольку в простом числе должно быть два фактора, число 1

Решение этой проблемы является простым для малых чисел Икс. Все, что нам нужно сделать, это просто посчитать число простых чисел, которые меньше или равны Икс. Мы делим число простых чисел меньше или равно Икс по номеру Икс.

Например, чтобы найти вероятность выбора простого числа от 1 до 10, необходимо разделить число простых чисел от 1 до 10 на 10. Числа 2, 3, 5, 7 являются простыми, поэтому вероятность выбора простого числа равна 4/10 = 40%.

Вероятность того, что простое число выбрано от 1 до 50, можно найти аналогичным образом. Простые числа, которые меньше 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 и 47. Есть 15 простых чисел, меньших или равных 50. Таким образом, вероятность того, что простое число выбрано случайно, составляет 15/50 = 30%.

Этот процесс может быть выполнен путем простого подсчета простых чисел, пока у нас есть список простых чисел. Например, есть 25 простых чисел, меньших или равных 100. (Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное число от 1 до 100 будет простым, равна 25/100 = 25%.) Однако, если у нас нет списка простых чисел, может быть сложно вычислить набор простых чисел, которые меньше или равны заданному число Икс.

Если у вас нет числа простых чисел, которые меньше или равны ИксТогда есть альтернативный способ решения этой проблемы. Решение включает в себя математический результат, известный как теорема простого числа. Это утверждение об общем распределении простых чисел, которое можно использовать для приблизительного определения вероятности, которую мы пытаемся определить.

Теорема о простых числах утверждает, что существует приблизительно Икс / лн (Икс) простые числа, которые меньше или равны Икс. ЗдесьИкс) обозначает натуральный логарифм Иксили, другими словами, логарифм с основанием число е. Как значение Икс увеличивает приближение улучшает, в том смысле, что мы видим уменьшение относительной ошибки между числом простых чисел меньше, чем Икс и выражение Икс / лн (Икс).

Мы можем использовать результат теоремы о простых числах для решения проблемы, которую мы пытаемся решить. Из теоремы простых чисел мы знаем, что существует приблизительно Икс / лн (Икс) простые числа, которые меньше или равны Икс. Кроме того, в общей сложности Икс натуральные числа меньше или равны Икс. Следовательно, вероятность того, что случайно выбранное число в этом диапазоне является простым, равна (Икс / лн (Икс) ) /Икс = 1 / ln (Икс).

Теперь мы можем использовать этот результат, чтобы приблизить вероятность случайного выбора простого числа из первого миллиард целые числа. Мы вычисляем натуральный логарифм в миллиард и видим, что ln (1,000,000,000) составляет приблизительно 20,7, а 1 / ln (1,000,000,000) - приблизительно 0,0483. Таким образом, вероятность случайного выбора простого числа из первого миллиарда целых чисел составляет около 4,83%.