Что такое экспоненциальные функции роста?

Экспоненциальные функции рассказывают истории взрывных изменений. Двумя типами экспоненциальных функций являются экспоненциальный рост и экспоненциальный спад. Четыре переменные (процентное изменение, время, сумма в начале периода времени и сумма в конце периода времени) играют роль в показательных функциях. Далее основное внимание уделяется использованию экспоненциальных функций роста для прогнозирования.

Экспоненциальный рост - это изменение, которое происходит, когда первоначальная сумма увеличивается с постоянной скоростью в течение определенного периода времени.

Использование экспоненциального роста в реальной жизни:

• Значения цен на жилье
• Ценности инвестиций
• Увеличение членства в популярной социальной сети

Edloe and Co. опирается на устную рекламу, оригинальную социальную сеть. Пятьдесят покупателей рассказали каждому по пять человек, а затем каждый из этих новых покупателей рассказал еще пяти людям и так далее. Менеджер зафиксировал рост покупателей магазина.

• Неделя 0: 50 покупателей
• Неделя 1: 250 покупателей
• Неделя 2: 1250 покупателей
• Неделя 3: 6250 покупателей
• Неделя 4: 31 250 покупателей

Во-первых, откуда вы знаете, что эти данные представляют экспоненциальный рост? Задайте себе два вопроса.

1. Значения увеличиваются? да
2. Значения демонстрируют последовательное увеличение процента? да.

Процентное увеличение: (новее - старше) / (старше) = (250-50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Убедитесь, что процентное увеличение сохраняется в течение месяца:

Процентное увеличение: (новее - старше) / (старше) = (1250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
Увеличение в процентах: (новее - старше) / (старше) = (6250 - 1250) / 1250 = 4.00 = 400%

Осторожнее - не путайте экспоненциальный и линейный рост.

Следующее представляет линейный рост:

• Неделя 1: 50 покупателей
• Неделя 2: 50 покупателей
• Неделя 3: 50 покупателей
• Неделя 4: 50 покупателей

Заметка: Линейный рост означает постоянное количество покупателей (50 покупателей в неделю); экспоненциальный рост означает постоянный процентный рост (400%) клиентов.

Вот экспоненциальная функция роста:

Y = а (1 + б)^Икс

• Y: Окончательная сумма, оставшаяся в течение определенного периода времени
• : Оригинальная сумма
• ИксВремя
• фактор роста есть (1 + б).
• Переменная, б, процентное изменение в десятичной форме.

Заполнить бланки:

• = 50 покупателей
• б = 4.00

Y = 50(1 + 4)^Икс

Заметка: Не заполняйте значения для Икс и Y. Значения Икс и Y будет изменяться во всей функции, но исходное количество и процентное изменение останутся постоянными.

Предположим, что рецессия, которая является основным фактором привлечения покупателей в магазин, сохраняется в течение 24 недель. Сколько еженедельных покупателей будет в магазине в течение 8^го неделя?

Осторожно, не удваивайте количество покупателей на 4 неделе (31 250 * 2 = 62 500) и верьте, что это правильный ответ. Помните, что эта статья о экспоненциальном росте, а не о линейном росте.

Используйте Порядок операций для упрощения.

Y = 50(1 + 4)^Икс

Y = 50(1 + 4)⁸

Y = 50(5)⁸ (Скобки)

Y = 50 (390 625) (экспонента)

Y = 19 531 250 (умножить)

19 531 250 покупателей

До начала рецессии ежемесячный доход магазина составлял около 800 000 долларов. Магазин доход общая сумма в долларах, которую покупатели тратят в магазине на товары и услуги.

Эдло и Ко. Доходы

• До рецессии: 800 000 долларов
• 1 месяц после рецессии: $ 880 000
• 2 месяца после рецессии: $ 968 000
• 3 месяца после рецессии: $ 1 171 280
• 4 месяца после рецессии: $ 1 288 408

Используйте информацию о доходах Edloe and Co для заполнения с 1 по 7.

1. Каковы первоначальные доходы?
2. Какой фактор роста?
3. Как эта модель данных экспоненциальный рост?
4. Напишите экспоненциальную функцию, которая описывает эти данные.
5. Напишите функцию для прогнозирования доходов в пятом месяце после начала рецессии.
6. Каковы доходы в пятом месяце после начала спад?
7. Предположим, что область этой экспоненциальной функции составляет 16 месяцев. Другими словами, предположим, что спад продлится 16 месяцев. В какой момент доходы превысят 3 миллиона долларов?