Проверка гипотез с помощью t-тестов с одним образцом

Вы собрали свои данные, у вас есть модель, вы запустили регрессию и получили результаты. Что вы делаете со своими результатами?

В этой статье мы рассмотрим модель закона Окуня и результаты из статьи "Как сделать проект безболезненной эконометрики". Один образец t-тестов будет введен и использован для того, чтобы увидеть, соответствует ли теория данным.

Теория, лежащая в основе Закона Окуна, была описана в статье: «Мгновенный эконометрический проект 1 - Закон Окуна»:

Закон Окуня эмпирическая зависимость между изменением уровня безработицы и процентным ростом реального объема производства, измеряемым ВНП. Артур Окунь оценил следующие отношения между ними:

Y_T = - 0,4 (X_T - 2.5 )

Это также может быть выражено как более традиционная линейная регрессия как:

Y_T = 1 - 0,4 X_T

Где:
Y_T это изменение уровня безработицы в процентах.
Икс_T процентная доля роста реального объема производства, измеренная реальным ВНП.

Таким образом, наша теория заключается в том, что значения наших параметров В₁ = 1 для параметра наклона и В₂ = -0.4 для параметра перехвата.

Мы использовали американские данные, чтобы увидеть, насколько данные соответствуют теории. Из "Как сделать проект безболезненной эконометрики«Мы увидели, что нам нужно оценить модель:

Используя Microsoft Excel, мы рассчитали параметры б₁ и б₂. Теперь нам нужно посмотреть, соответствуют ли эти параметры нашей теории, В₁ = 1 и В₂ = -0.4. Прежде чем мы сможем это сделать, нам нужно записать некоторые цифры, которые дал нам Excel. Если вы посмотрите на скриншот результатов, вы заметите, что значения отсутствуют. Это было сделано намеренно, так как я хочу, чтобы вы вычислили значения самостоятельно. Для целей этой статьи я составлю некоторые значения и покажу, в каких ячейках вы можете найти реальные значения. Прежде чем мы начнем проверку гипотез, нам нужно записать следующие значения:

• Количество наблюдений (ячейка B8) Obs = 219

• Коэффициент (ячейка B17) б₁ = 0.47 (отображается на графике как «AAA»)
  Стандартная ошибка (ячейка C17) се₁ = 0.23 (отображается на графике как "CCC")
  t Stat (ячейка D17) T₁ = 2.0435 (отображается на графике как «х»)
  P-значение (ячейка E17) п₁ = 0.0422 (отображается на графике как «х»)

• Коэффициент (ячейка B18) б₂ = - 0.31 (отображается на графике как "BBB")
  Стандартная ошибка (ячейка C18) се₂ = 0.03 (отображается на графике как "DDD")
  t Stat (ячейка D18) T₂ = 10.333 (отображается на графике как «х»)
  P-значение (ячейка E18) п₂ = 0.0001 (отображается на графике как «х»)

В следующем разделе мы рассмотрим проверку гипотез и посмотрим, соответствуют ли наши данные нашей теории.

Обязательно перейдите на страницу 2 «Проверка гипотез с использованием однократных t-тестов».

Сначала рассмотрим нашу гипотезу о том, что переменная перехвата равна единице. Идея, лежащая в основе этого, достаточно хорошо объясняется в гуджаратских Основы эконометрики. На странице 105 Гуджарати описывает проверку гипотез:

• «Скажем, мы строить гипотезу что правда В₁ принимает конкретное числовое значение, например, В₁ = 1. Наша задача сейчас состоит в том, чтобы «проверить» эту гипотезу ». язык гипотезы проверки гипотезы, такой как B₁ = 1 называется нулевая гипотеза и обычно обозначается символом ЧАС₀. таким образом ЧАС₀: B₁ = 1. Нулевая гипотеза обычно проверяется против Альтернативная гипотеза, обозначается символом ЧАС₁. Альтернативная гипотеза может принимать одну из трех форм:
  ЧАС₁: В₁ > 1, который называется односторонний альтернативная гипотеза, или
  ЧАС₁: В₁ < 1, также односторонний альтернативная гипотеза, или
  ЧАС₁: В₁ не равно 1, который называется двусторонний Альтернативная гипотеза. То есть истинное значение больше или меньше 1 ».

Выше я подставил в нашей гипотезе гуджарати, чтобы ей было легче следовать. В нашем случае мы хотим иметь двустороннюю альтернативную гипотезу, так как нам интересно знать, В₁ равно 1 или не равно 1.

Первое, что нам нужно сделать, чтобы проверить нашу гипотезу, - это вычислить статистику t-Test. Теория, лежащая в основе статистики, выходит за рамки данной статьи. По сути, то, что мы делаем, - это вычисление статистики, которая может быть проверена по t-распределению. определить, насколько вероятно, что истинное значение коэффициента равно некоторому предположенному значение. Когда наша гипотеза В₁ = 1 мы обозначаем нашу т-статистику как T₁(В₁=1) и это можно рассчитать по формуле:

T₁(В₁= 1) = (б₁ - Б₁ / se₁)

Давайте попробуем это для наших данных перехвата. Напомним, у нас были следующие данные:

• б₁ = 0.47
  се₁ = 0.23

Наша t-статистика для гипотезы В₁ = 1 это просто:

T₁(В₁=1) = (0.47 – 1) / 0.23 = 2.0435

Так T₁(В₁=1) является 2.0435. Мы также можем рассчитать наш t-критерий для гипотезы, что переменная наклона равна -0,4:

• б₂ = -0.31
  се₂ = 0.03

Наша t-статистика для гипотезы В₂ = -0.4 это просто:

T₂(В₂= -0.4) = ((-0.31) – (-0.4)) / 0.23 = 3.0000

Так T₂(В₂= -0.4) является 3.0000. Затем мы должны преобразовать их в p-значения. Значение p "может быть определено как самый низкий уровень значимости при котором нулевая гипотеза может быть отклонена... Как правило, чем меньше значение p, тем сильнее доказательства против нулевой гипотезы. "(Гуджарати, 113) Как стандартное правило, если значение р ниже 0,05, мы отвергаем нулевую гипотезу и принимаем альтернативу гипотеза. Это означает, что если значение р связано с тестом T₁(В₁=1) меньше 0,05, мы отвергаем гипотезу, что В₁=1 и принять гипотезу, что В₁ не равно 1. Если соответствующее значение p равно или больше 0,05, мы делаем прямо противоположное, то есть принимаем нулевую гипотезу о том, что В₁=1.

К сожалению, вы не можете рассчитать значение p. Чтобы получить значение p, вы обычно должны искать его на графике. Большинство стандартных книг по статистике и эконометрике содержат диаграмму p-значения в конце книги. К счастью, с появлением Интернета появился намного более простой способ получения значений p. Сайт Graphcal Quickcalcs: один образец t теста позволяет быстро и легко получить p-значения. Используя этот сайт, вы узнаете, как получить p-значение для каждого теста.

Шаги, необходимые для оценки p-значения для B₁=1

• Нажмите на переключатель, содержащий «Введите среднее, SEM и N.» Среднее - это значение параметра, которое мы оценили, SEM - стандартная ошибка, а N - количество наблюдений.
• Войти 0.47 в поле с надписью «Среднее».
• Войти 0.23 в поле с надписью «SEM:»
• Войти 219 в поле с надписью «N:», так как это число наблюдений, которые мы провели.
• Под "3. Укажите гипотетическое среднее значение "нажмите на переключатель рядом с пустым полем. В этом поле введите 1, так как это наша гипотеза.
• Нажмите «Рассчитать сейчас»

Вы должны получить выходную страницу. В верхней части страницы вывода вы должны увидеть следующую информацию:

• Р значение и Статистическая значимость:
  Двустороннее значение P равно 0,0221
  По общепринятым критериям эта разница считается статистически значимой.

Таким образом, наше значение р составляет 0,0221, что меньше 0,05. В этом случае мы отвергаем нашу нулевую гипотезу и принимаем нашу альтернативную гипотезу. По нашим словам, по этому параметру наша теория не соответствовала данным.

Обязательно перейдите на страницу 3 «Проверка гипотез с использованием однократных t-тестов».

Снова используя сайт Graphcal Quickcalcs: один образец t теста мы можем быстро получить значение p для нашего второго теста гипотез:

Шаги, необходимые для оценки р-значение для Б₂= -0.4

• Щелкните по переключателю, содержащему «Введите среднее значение, SEM и N.» Среднее значение - это значение параметра, которое мы оценили, SEM - стандартная ошибка, а N - количество наблюдений.
• Войти -0.31 в поле с надписью «Среднее».
• Войти 0.03 в поле с надписью «SEM:»
• Войти 219 в поле с надписью «N:», так как это число наблюдений, которые мы провели.
• Под «3. Укажите гипотетическое среднее значение », щелкните переключатель рядом с пустым полем. В этом поле введите -0.4, так как это наша гипотеза.
• Нажмите «Рассчитать сейчас»

• Значение P и статистическая значимость: Двустороннее значение P равно 0,0030
  По общепринятым критериям эта разница считается статистически значимой.

Мы использовали данные США для оценки модели закона Окуня. Используя эти данные, мы обнаружили, что как параметры пересечения, так и параметры наклона статистически значимо отличаются от параметров в законе Окуна. Поэтому можно сделать вывод, что в Соединенных Штатах закон Окуня не действует.

Теперь вы узнали, как рассчитать и использовать t-тесты с одной выборкой, и сможете интерпретировать числа, которые вы вычислили, в вашей регрессии.

Если вы хотите задать вопрос о эконометрия, проверка гипотез, или любая другая тема или комментарий к этой истории, пожалуйста, используйте форму обратной связи. Если вы заинтересованы в выигрыше денежных средств для своей курсовой работы или статьи по экономике, обязательно ознакомьтесь с «Призом Моффата 2004 года в области экономического письма»