Какова ожидаемая величина вероятности?

Ты на карнавале и видишь игру. За 2 доллара вы бросаете стандартный шестигранный кубик. Если число показывает шесть, вы выигрываете 10 долларов, в противном случае вы ничего не выигрываете. Если вы пытаетесь заработать деньги, вам интересно играть в эту игру? Чтобы ответить на такой вопрос, нам нужна концепция ожидаемой стоимости.

Ожидаемое значение действительно может рассматриваться как среднее значение случайной величины. Это означает, что если вы запускали вероятностный эксперимент снова и снова, отслеживая результаты, ожидаемое значение средний из всех полученных значений. Ожидаемое значение - это то, что вы должны ожидать в конечном итоге во многих испытаниях азартной игры.

Карнавальная игра, упомянутая выше, является примером дискретной случайной величины. Переменная не является непрерывной, и каждый результат приходит к нам в количестве, которое можно отделить от других. Чтобы найти ожидаемую ценность игры, которая имеет результаты Икс₁, Икс₂,..., Икс_N с вероятностями п₁, п₂,... , п_N, рассчитать:

Икс₁п₁ + Икс₂п₂ +... + Икс_Nп_N.

В вышеприведенной игре у вас есть вероятность 5/6 ничего не выиграть. Значение этого результата -2, так как вы потратили $ 2, чтобы играть в игру. Шестерка имеет 1/6 вероятность появления, и это значение имеет результат 8. Почему 8, а не 10? Опять же, нам нужно учесть 2 доллара, которые мы заплатили за игру, и 10 - 2 = 8.

Теперь включите эти значения и вероятности в ожидаемую формула стоимости и в конечном итоге: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Это означает, что в долгосрочной перспективе вы должны ожидать в среднем около 33 центов каждый раз, когда играете в эту игру. Да, вы будете иногда побеждать. Но вы будете проигрывать чаще.

Теперь предположим, что карнавальная игра была слегка изменена. При той же вступительной плате в 2 доллара, если показанное число равно шести, вы выигрываете 12 долларов, в противном случае вы ничего не выигрываете. Ожидаемое значение этой игры -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. В конце концов, вы не потеряете деньги, но не выиграете. Не ожидайте увидеть игру с этими цифрами на вашем местном карнавале. Если в долгосрочной перспективе вы не потеряете деньги, то и карнавал не заработает.

Теперь обратимся к казино. Таким же образом, как и раньше, мы можем рассчитать ожидаемую ценность азартных игр, таких как рулетка. В США колесо рулетки имеет 38 пронумерованных слотов от 1 до 36, 0 и 00. Половина из 1-36 - красная, половина - черная. И 0, и 00 зеленые. Мяч случайно приземляется в одном из слотов, и делаются ставки на место приземления мяча.

Одна из самых простых ставок - делать ставки на красный. Здесь, если вы поставите 1 доллар, и мяч приземлится на красную цифру в колесе, вы выиграете 2 доллара. Если мяч приземляется на черное или зеленое пространство в колесе, то вы ничего не выиграете. Какова ожидаемая стоимость такой ставки? Поскольку есть 18 красных полей, вероятность выигрыша составляет 18/38, а чистый выигрыш составляет 1 доллар. Существует вероятность 20/38 проиграть начальную ставку в 1 доллар. Ожидаемая стоимость этой ставки в рулетка составляет 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, что составляет около 5,3 цента. Здесь дом имеет небольшое преимущество (как и во всех играх казино).

В качестве другого примера рассмотрим лотерея. Хотя по цене билета в 1 доллар можно выиграть миллионы, ожидаемая стоимость лотерейной игры показывает, насколько несправедливо она построена. Предположим, что за 1 доллар вы выбираете шесть цифр от 1 до 48. Вероятность правильного выбора всех шести чисел составляет 1/12 271 512. Если вы выиграли 1 миллион долларов за то, что все шесть верны, какова ожидаемая стоимость этой лотереи? Возможные значения - $ 1 за проигрыш и $ 999 999 за выигрыш (опять же, мы должны учесть стоимость игры и вычесть ее из выигрыша). Это дает нам ожидаемое значение:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Так что если вы будете играть в лотерею снова и снова, в конечном счете, вы теряете около 92 центов - почти всю цену билета - каждый раз, когда вы играете.

Все приведенные выше примеры смотрят на дискретный случайная переменная. Однако можно определить ожидаемое значение и для непрерывной случайной величины. Все, что мы должны сделать в этом случае, это заменить суммирование в нашей формуле на интеграл.

Важно помнить, что ожидаемое значение является средним после многих испытаний случайный процесс. В краткосрочной перспективе среднее значение случайной величины может значительно отличаться от ожидаемого значения.