Расчеты с помощью гамма-функции

гамма-функция определяется следующей сложной формулой:

Γ ( Z ) = ∫₀^∞е ^{- т}T^г-1дт

Один вопрос, который возникает у людей, когда они впервые сталкиваются с этим запутанным уравнением: «Как вы используете эту формулу для расчета значений гамма-функция? Это важный вопрос, так как трудно понять, что вообще означает эта функция и что означают все символы. за.

Один из способов ответить на этот вопрос - посмотреть на несколько примеров расчетов с помощью гамма-функции. Прежде чем мы сделаем это, мы должны знать несколько вещей из исчисления, например, как интегрировать неправильный интеграл типа I, и что е - математическая константа.

Прежде чем делать какие-либо расчеты, мы рассмотрим мотивацию этих расчетов. Много раз гамма-функции появляются за кадром. Несколько функций плотности вероятности определены в терминах гамма-функции. Примеры этого включают гамма-распределение и t-распределение студентов. Важность гамма-функции нельзя переоценить.

Первый пример расчета, который мы будем изучать, - это поиск значения гамма-функции для Γ (1). Это определяется настройкой

∫₀^∞е ^{- т}дт

Вычисляем вышеуказанный интеграл в два этапа:

• Неопределенный интеграл ∫е ^{- т}дт= -е ^{- т} + С
• Это неправильный интеграл, поэтому мы имеем ∫₀^∞е ^{- т}дт = лим_{b → ∞} -е ^{- б} + е ⁰ = 1

Следующий пример расчета, который мы рассмотрим, аналогичен последнему примеру, но мы увеличиваем значение Z на 1 Теперь вычислим значение гамма-функции для Γ (2), установив Z = 2 в приведенной выше формуле. Шаги такие же, как указано выше:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞е ^{- т}т дт

Неопределенный интеграл ∫тэ ^{- т}дт=- тэ ^{- т} -e ^{- т} + C. Хотя мы только увеличили стоимость Z на 1, требуется больше работы для вычисления этого интеграла. Чтобы найти этот интеграл, мы должны использовать методику исчисления, известную как интеграция по частям. Теперь мы используем пределы интеграции, как указано выше, и нам необходимо рассчитать:

Ит_{b → ∞}- быть ^{- б} -e ^{- б} -0e ⁰ + е ⁰.

Результат исчисления, известного как правило L’Hospital, позволяет нам рассчитать предельный предел_{b → ∞}- быть ^{- б} = 0. Это означает, что значение нашего интеграла выше равно 1.

Еще одна особенность гамма-функции и та, которая соединяет его с факториал это формула Γ (Z +1 ) =ZΓ (Z ) за Z любое комплексное число с положительным реальный часть. Причина, по которой это верно, является прямым результатом формулы для гамма-функции. Используя интеграцию по частям, мы можем установить это свойство гамма-функции.