Характеристики вещественного числа

Какой номер? Ну, это зависит. Существуют различные типы чисел, каждое из которых имеет свои особые свойства. Один вид числа, на котором статистика, вероятность, и большая часть математики основана на, называется действительным числом.

Чтобы узнать, что такое действительное число, мы сначала проведем краткий обзор других видов чисел.

Сначала мы узнаем о числах, чтобы посчитать. Мы начали с сопоставления цифр 1, 2 и 3 пальцами. Тогда мы и продолжали подниматься так высоко, как могли, что, вероятно, было не так высоко. Эти числа или натуральные числа были единственными числами, о которых мы знали.

Позже, когда имеем дело с вычитанием, отрицательный целые числа были введены. Множество положительных и отрицательных целых чисел называется множеством целых чисел. Вскоре после этого были рассмотрены рациональные числа, также называемые дробями. Поскольку каждое целое число может быть записано в виде дроби с 1 в знаменателе, мы говорим, что целые числа образуют подмножество рациональных чисел.

древние греки понял, что не все числа могут быть сформированы в виде дроби. Например, квадратный корень из 2 не может быть выражен в виде дроби. Эти виды чисел называются иррациональными числами. Иррациональных чисел предостаточно, и в некотором смысле несколько иррациональных чисел больше, чем рациональных чисел. Другие иррациональные числа включают число Пи и е.

Каждое действительное число может быть записано как десятичное число. Разные виды действительных чисел имеют разные виды десятичных разложений. Десятичное разложение рационального числа заканчивается, например, 2, 3,25 или 1,2342, или повторяется, например, .33333.. . Или .123123123.. . В отличие от этого, десятичное разложение иррационального числа является непостоянным и неповторяющимся. Мы можем видеть это в десятичном разложении числа пи. Существует бесконечная строка цифр для числа пи, и, более того, нет последовательности цифр, которая бесконечно повторяется.

Действительные числа можно визуализировать, связав каждое из них с одним из бесконечного числа точек по прямой линии. Вещественные числа имеют порядок, означающий, что для любых двух различных действительных чисел мы можем сказать, что одно больше другого. По соглашению, перемещение влево вдоль строки действительных чисел соответствует меньшим и меньшим числам. Перемещение вправо вдоль линии действительного числа соответствует большему и большему числу.

Действительные числа ведут себя как другие числа, с которыми мы привыкли иметь дело. Мы можем сложить, вычесть, умножить и разделить их (до тех пор, пока мы не разделим на ноль). Порядок сложения и умножения не важен, так как существует коммутативное свойство. Распределительное свойство говорит нам, как умножение и сложение взаимодействуют друг с другом.

Как упоминалось ранее, действительные числа имеют порядок. Учитывая любые два действительных числа Икс и Yмы знаем, что верно только одно и только одно из следующего:

Икс = Y, Икс < Y или Икс > Y.

Свойство, которое устанавливает действительные числа отдельно от других наборов чисел, таких как рациональные числа, является свойством, известным как полнота. Полноту немного объяснить технически, но интуитивное представление о том, что в наборе рациональных чисел есть пробелы. Множество действительных чисел не имеет пробелов, потому что оно полно.

В качестве иллюстрации рассмотрим последовательность рациональных чисел 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,. .. Каждый член этой последовательности является приближением к пи, полученному путем усечения десятичного разложения для пи. Условия этой последовательности становятся все ближе и ближе к пи. Однако, как мы уже упоминали, число pi не является рациональным числом. Нам нужно использовать иррациональные числа, чтобы заткнуть дыры в числовой линии, которые возникают только при рассмотрении рациональных чисел.

Не должно быть сюрпризом, что существует бесконечное количество действительных чисел. Это можно легко увидеть, если учесть, что целые числа образуют подмножество действительных чисел. Мы также можем увидеть это, осознав, что числовая линия имеет бесконечное число точек.

Что удивительно, так это то, что бесконечность, используемая для подсчета действительных чисел, отличается от бесконечности, используемой для подсчета целых чисел. Целые числа, целые и рациональные числа счетны бесконечно. Множество действительных чисел неисчислимо бесконечно.

Вещественные числа получают свое имя, чтобы отличать их от дальнейшего обобщения понятия числа Мнимое число я определяется как квадратный корень из отрицательного. Любое действительное число, умноженное на я также известен как мнимое число. Воображаемые числа определенно расширяют нашу концепцию числа, поскольку они совсем не то, о чем мы думали, когда впервые научились считать.