Один из популярных способов изучения вероятности - бросать кости. Стандартная матрица имеет шесть сторон, напечатанных маленькими точками с номерами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Если умереть честно (и мы будем предполагать что все они), то каждый из этих результатов одинаково вероятен. Поскольку существует шесть возможных результатов, вероятность получения любой стороны кубика составляет 1/6. Вероятность броска 1 равна 1/6, вероятность броска 2 равна 1/6 и так далее. Но что произойдет, если мы добавим еще один кубик? Каковы вероятности броска двух кубиков?
Вероятность броска кубика
Чтобы правильно определить вероятность броска костей, нам нужно знать две вещи:
- Размер пробное пространство или набор общих возможных результатов
- Как часто происходит событие
В вероятностьсобытие - это определенное подмножество выборочного пространства. Например, когда прокатывается только один кристалл, как в примере выше, пространство выборки равно всем значениям на кристалле или наборе (1, 2, 3, 4, 5, 6). Поскольку кубик честен, каждое число в наборе встречается только один раз. Другими словами, частота каждого числа равна 1. Чтобы определить вероятность выпадения любого из чисел на матрице, мы разделим частоту событий (1) на размер выборочного пространства (6), в результате чего вероятность составит 1/6.
Бросание двух справедливых кубиков более чем вдвое усложняет вычисление вероятностей. Это потому, что бросание одного кубика не зависит от броска второго. Один бросок не влияет на другой. При работе с независимыми событиями мы используем правило умножения. Использование древовидной диаграммы показывает, что при бросании двух кубиков возможны 6 x 6 = 36
Предположим, что первый бросок, который мы бросаем, получается как 1. Другой бросок кубика может быть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Теперь предположим, что первый кубик равен 2. Другой бросок кубика снова может быть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Мы уже нашли 12 потенциальных результатов, и нам еще предстоит исчерпать все возможности первого кубика.
Таблица вероятностей броска двух кубиков
Возможные результаты броска двух кубиков представлены в таблице ниже. Обратите внимание, что общее количество возможных результатов равно пробному пространству первого кристалла (6). умноженный по образцу пространства второго штампа (6), что составляет 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Три или более кубика
Тот же принцип применяется, если мы работаем над проблемы, связанные с тремя кубиками. Мы умножаем и видим, что есть 6 х 6 х 6 = 216 возможных результатов. Поскольку писать повторяющееся умножение становится громоздким, мы можем использовать показатели для упрощения работы. Для двух кубиков есть 62 возможные результаты. Для трех костей есть 63 возможные результаты. В общем, если мы катимся N кости, то есть в общей сложности 6N возможные результаты.
Типовые проблемы
Обладая этими знаниями, мы можем решить все возможные проблемы:
1. Два шестигранных кубика брошены. Какова вероятность того, что сумма двух кубиков равна семи?
Самый простой способ решить эту проблему - обратиться к таблице выше. Вы заметите, что в каждом ряду есть один бросок костей, где сумма двух костей равна семи. Поскольку есть шесть рядов, есть шесть возможных результатов, где сумма двух кубиков равна семи. Количество общих возможных результатов остается 36. Опять же, мы находим вероятность путем деления частоты события (6) на размер выборочного пространства (36), в результате чего вероятность составляет 1/6.
2. Два шестигранных кубика брошены. Какова вероятность того, что сумма из двух костей три?
В предыдущей задаче вы могли заметить, что ячейки, в которых сумма двух кубиков равна семи, образуют диагональ. То же самое и здесь, за исключением того, что в этом случае есть только две ячейки, в которых сумма игральных костей равна трем. Это потому, что есть только два способа получить этот результат. Вы должны бросить 1 и 2 или вы должны бросить 2 и 1. Комбинации для бросания суммы семь гораздо больше (1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 и т. Д.). Чтобы найти вероятность того, что сумма двух кубиков равна трем, мы можем разделить частоту событий (2) на размер выборочного пространства (36), что дает вероятность 1/18.
3. Два шестигранных кубика брошены. Какова вероятность того, что чисел на кости разные?
Опять же, мы можем легко решить эту проблему, обратившись к таблице выше. Вы заметите, что ячейки, в которых числа на кубиках одинаковые, образуют диагональ. Их всего шесть, и как только мы их вычеркнем, у нас останутся ячейки, в которых числа на кубиках разные. Мы можем взять число комбинаций (30) и разделить его на размер выборочного пространства (36), что приведет к вероятности 5/6.