Введение в дельта-функцию Дирака

Дельта-функция Дирака - это имя, данное математической структуре, предназначенной для представления идеализированного точечного объекта, такого как точечная масса или точечный заряд. Он имеет широкое применение в квантовой механике и остальных квантовая физика, как это обычно используется в квантовой волновая. Дельта-функция представлена ​​греческим строчным символом delta, записанным в виде функции: δ (Икс).

Это представление достигается путем определения дельта-функции Дирака так, чтобы она имела значение 0 везде, кроме входного значения 0. В этот момент он представляет собой шип, который бесконечно высок. Интеграл, взятый по всей линии, равен 1. Если вы изучали исчисление, вы, вероятно, сталкивались с этим явлением раньше. Имейте в виду, что эта концепция обычно вводится студентам после нескольких лет обучения теоретической физике на уровне колледжа.

Другими словами, результаты следующие для самой основной дельта-функции δ (Икс), с одномерной переменной Икс, для некоторых случайных входных значений:

• δ(5) = 0
• δ(-20) = 0
• δ(38.4) = 0
• δ(-12.2) = 0
• δ(0.11) = 0
• δ(0) = ∞

Вы можете увеличить функцию, умножив ее на константу. По правилам исчисления умножение на постоянное значение также увеличивает значение интеграла на этот постоянный коэффициент. Поскольку интеграл от δ (Икс) через все действительные числа равен 1, то умножение его на константу будет иметь новый интеграл, равный этой константе. Так, например, 27δ (Икс) имеет интеграл по всем действительным числам 27.

Еще одна полезная вещь, которую следует учитывать, это то, что поскольку функция имеет ненулевое значение только для входа 0, то если вы смотрите на координатная сетка, где ваша точка не выровнена прямо в 0, это может быть представлено выражением внутри входных данных функции. Так что, если вы хотите представить идею, что частица находится в положении Икс = 5, то вы бы написали дельта-функцию Дирака как δ (x - 5) = ∞ [так как δ (5 - 5) = ∞].

Если затем вы хотите использовать эту функцию для представления серии точечных частиц в квантовой системе, вы можете сделать это, сложив вместе различные дельта-функции Дирака. Для конкретного примера, функция с точками в x = 5 и x = 8 может быть представлена ​​как δ (x - 5) + δ (x - 8). Если бы вы взяли интеграл этой функции по всем числам, вы бы получили интеграл, который представляет действительные числа, даже если функции равны 0 во всех местах, кроме двух, где есть являются точками. Затем эту концепцию можно расширить, чтобы представить пространство с двумя или тремя измерениями (вместо одномерного случая, который я использовал в моих примерах).

Это, по общему признанию, краткое введение в очень сложную тему. Главное, что нужно осознать, это то, что дельта-функция Дирака в основном существует с единственной целью - сделать интеграцию этой функции разумной. Когда нет интегральной функции, наличие дельта-функции Дирака не особенно полезно. Но в физике, когда вы имеете дело с выходом из области без частиц, которые внезапно существуют только в одной точке, это очень полезно.

В своей книге 1930 года Принципы квантовой механикиАнглийский физик-теоретик Пол Дирак изложил ключевые элементы квантовой механики, в том числе нотацию Брекет, а также его дельта-функцию Дирака. Они стали стандартными понятиями в области квантовой механики в Уравнение Шредингера.