Вероятности для броска трех кубиков

Кости дают отличные иллюстрации для понятия в вероятности. Наиболее часто используемые кубики - это кубики с шестью гранями. Здесь мы увидим, как рассчитать вероятности броска трех стандартных кубиков. Это относительно стандартная задача для расчета вероятности суммы, полученной бросать два кубика. Всего существует 36 различных бросков с двумя кубиками, с любой суммой от 2 до 12 возможных.Как проблема изменится, если мы добавим больше кубиков?

Так же, как один кубик имеет шесть результатов, а два кубика имеют 6² = 36 результатов, вероятность эксперимента броска трех кубиков имеет 6³ = 216 результатов. Эта идея обобщает далее для большего количества костей. Если мы катимся N кости, то есть 6^N результаты.

Мы также можем рассмотреть возможные суммы от броска нескольких кубиков. Наименьшая возможная сумма возникает, когда все кости являются наименьшими, или по одной на каждой. Это дает сумму три, когда мы бросаем три кубика. Наибольшее число на кубике равно шести, что означает, что наибольшая возможная сумма возникает, когда все три кубика равны шести. Сумма этой ситуации составляет 18.

когда N кости брошены, наименьшая возможная сумма N и максимально возможная сумма составляет 6N.

• Есть один возможный способ, что три кубика могут составить 3
• 3 способа для 4
• 6 на 5
• 10 на 6
• 15 для 7
• 21 на 8
• 25 за 9
• 27 на 10
• 27 на 11
• 25 на 12
• 21 для 13
• 15 для 14
• 10 на 15
• 6 на 16
• 3 на 17
• 1 на 18

Как обсуждалось выше, для трех костей возможные суммы включают каждое число от трех до 18. Вероятности могут быть рассчитаны с помощью счетные стратегии и признавая, что мы ищем способы разбить число на ровно три целых числа. Например, единственный способ получить сумму три - это 3 = 1 + 1 + 1. Поскольку каждый кубик независим от других, такую ​​сумму, как четыре, можно получить тремя различными способами:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Дальнейшие подсчетные аргументы могут быть использованы для определения количества способов формирования других сумм. Разделы для каждой суммы следующие:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Когда три разных числа образуют разделение, например 7 = 1 + 2 + 4, их 3! (3x2x1) разные способы перестановка эти цифры. Таким образом, это будет учитывать три результата в выборочном пространстве. Когда два разных числа образуют разделение, есть три разных способа перестановки этих чисел.

Мы делим общее количество способов получения каждой суммы на общее количество результатов в пробное пространствоили 216. Результаты:

• Вероятность суммы 3: 1/216 = 0,5%
• Вероятность суммы 4: 3/216 = 1,4%
• Вероятность в сумме 5: 6/216 = 2,8%
• Вероятность суммы 6: 10/216 = 4,6%
• Вероятность в сумме 7: 15/216 = 7,0%
• Вероятность в сумме 8: 21/216 = 9,7%
• Вероятность суммы 9: 25/216 = 11,6%
• Вероятность в сумме 10: 27/216 = 12,5%
• Вероятность в сумме 11: 27/216 = 12,5%
• Вероятность в сумме 12: 25/216 = 11,6%
• Вероятность в сумме 13: 21/216 = 9,7%
• Вероятность в сумме 14: 15/216 = 7,0%
• Вероятность суммы 15: 10/216 = 4,6%
• Вероятность в сумме 16: 6/216 = 2,8%
• Вероятность в сумме 17: 3/216 = 1,4%
• Вероятность суммы 18: 1/216 = 0,5%

Как видно, крайние значения 3 и 18 наименее вероятны. Суммы, которые находятся точно посередине, являются наиболее вероятными. Это соответствует тому, что наблюдалось, когда два кубика были брошены.