История алгебры

Различные версии слова «алгебра» арабского происхождения были даны разными авторами. Первое упоминание этого слова можно найти в названии произведения Махоммеда бен Мусы аль-Хорезми (Ховарезми), который процветал около начала 9-го века. Полное название илм аль-джебр ва'л-мукабала, который содержит идеи реституции и сравнения, или оппозиции и сравнения, или резолюции и уравнения, jebr происходит от глагола Джабара воссоединиться и мукабала, из Габала, сделать равным. (Корень Джабара также встречается в слове algebrista, что означает «костоправ» и до сих пор широко используется в Испании.) Тот же вывод дается Лукасом Пациолусом (Лука Пачоли), который воспроизводит фразу в транслитерированной форме Альгебра и Альмукабала, и приписывает изобретение искусства арабам.

Другие авторы вывели слово из арабской частицы аль (конкретная статья), и Гербер, что означает "человек". Поскольку, однако, Гебер оказался именем знаменитого мавританского философа, который процветал в Примерно в 11 или 12 веке предполагалось, что он был основателем алгебры, которая с тех пор увековечила его имя. Свидетельство Петра Рамуса (1515-1572) по этому вопросу интересно, но он не дает никаких полномочий для своих особых утверждений. В предисловии к его

Хотя термин «алгебра» в настоящее время используется повсеместно, итальянские математики в эпоху Возрождения использовали различные другие наименования. Таким образом, мы видим, что Пациол называет это Л'Арте Маджоре; Дитта Даль Вольго-ла-Регула-де-ла-Коза над Альгеброй и Альмукабала. Название L'Arte Magiore, большее искусство, предназначено, чтобы отличить его от L'Arte Minore, меньшее искусство, термин, который он применил к современной арифметике. Его второй вариант, la regula de la cosa, правило вещи или неизвестного количества, по-видимому, широко используется в Италии, и слово коза был сохранен в течение нескольких веков в формах coss или алгебра, cossic или алгебраический, cossist или алгебраист, & c. Другие итальянские писатели назвали это Regula Rei et Census, правило вещи и продукта, или корень и квадрат. Принцип, лежащий в основе этого выражения, вероятно, можно найти в том, что он измерил пределы их достижения в алгебре, потому что они не смогли решить уравнения более высокой степени, чем квадратичные или площадь.

Франциск Виета (Francois Viete) назвал его Арифметика из-за вида участвующих величин, которые он символически представлял различными буквами алфавита. Сэр Исаак Ньютон ввел термин «универсальная арифметика», поскольку он касается доктрины операций, затрагивающей не числа, а общие символы.

Несмотря на эти и другие специфические названия, европейские математики придерживались более старого названия, под которым предмет теперь известен всем.

Продолжение на второй странице.

Этот документ является частью статьи по алгебре из энциклопедии, изданной в 1911 году, которая не защищена авторским правом. в США. Статья находится в свободном доступе, и вы можете копировать, скачивать, распечатывать и распространять эту работу, как видите. поместиться.

Были предприняты все усилия, чтобы представить этот текст точно и аккуратно, но никаких гарантий от ошибок сделано не было. Ни Melissa Snell, ни About не могут быть привлечены к ответственности за любые проблемы, с которыми вы столкнулись при работе с текстовой версией или с какой-либо электронной формой этого документа.

Трудно отнести изобретение какого-либо искусства или науки к определенному возрасту или расе. Несколько фрагментарных записей, которые пришли к нам из прошлых цивилизаций, не должны рассматриваться как представляющие совокупность их знаний и упущение науки или искусства не обязательно означает, что наука или искусство были неизвестно. Ранее был обычай назначать изобретение алгебры грекам, но с момента расшифровки У заднего папируса Эйзенлора эта точка зрения изменилась, поскольку в этой работе есть четкие признаки алгебраического анализ. Конкретная проблема куча (хау) и ее седьмой делает 19 решается, как мы должны теперь решить простое уравнение; но Ахмс меняет свои методы в других подобных проблемах. Это открытие возвращает изобретение алгебры к 1700 г. до н.э., если не раньше.

Вероятно, что алгебра египтян имела наиболее элементарную природу, так как в противном случае мы должны ожидать ее следов в работах греческих аеометров. из которых Фалес Милетский (640-546 гг. до н.э.) был первым. Несмотря на обилие писателей и количество писем, все попытки извлечь алгебраический анализ из их геометрических теоремы и проблемы оказались бесплодными, и, как правило, признают, что их анализ был геометрическим и не имел почти никакого сходства с алгебра. Первая существующая работа, которая подходит к трактату по алгебре, написана Диофантом (см. В. В.), Александрийским математиком, который процветал около 350 г. до н.э. Оригинал, который состоял из предисловия и тринадцати книг, сейчас утерян, но у нас есть латинский перевод первых шести книг и фрагмент другого на многоугольных числах Ксиландера Аугсбургского (1575) и латинские и греческие переводы Гаспара Баше де Меризака (1621-1670). Были опубликованы другие издания, из которых мы можем упомянуть Пьера Ферма (1670), T. L. Хит (1885) и П. Кожевенный завод (1893-1895). В предисловии к этой работе, посвященной одному Дионисию, Диофант объясняет свою запись, называя квадрат, куб и четвертая степень, Dynamis, Cubus, Dynamodinimus и так далее, в соответствии с суммой в индексы. Неизвестный он называет arithmos, число, и в решениях он помечает его последними с; он объясняет генерацию сил, правила умножения и деления простых величин, но он не рассматривает сложение, вычитание, умножение и деление сложного величины. Затем он приступает к обсуждению различных решений для упрощения уравнений, давая методы, которые все еще широко используются. В основной части работы он проявляет значительную изобретательность в сведении своих задач к простым уравнениям, которые допускают либо непосредственное решение, либо попадают в класс, известный как неопределенные уравнения. Этот последний класс он так усердно обсуждал, что их часто называют диофантовыми проблемами, а методы их решения - диофантовыми. анализ (см. уравнение, неопределенный.) Трудно поверить, что эта работа Диофанта возникла стихийно в период общей стагнации. Более чем вероятно, что он был в долгу перед более ранними авторами, которых он не упомянул, и чьи произведения сейчас утрачены; тем не менее, но для этой работы мы должны предположить, что алгебра была почти, если не полностью, неизвестна грекам.

Римляне, пришедшие на смену грекам как главной цивилизованной державе в Европе, не смогли выделить свои литературные и научные сокровища; математикой почти пренебрегали; и помимо нескольких улучшений в арифметических вычислениях, нет никаких существенных улучшений, которые должны быть зарегистрированы.

В хронологическом развитии нашего предмета мы теперь должны обратиться к Востоку. Исследование произведений индийских математиков обнаружило фундаментальное различие между греческим и Индийский разум, первый из которых преимущественно геометрический и умозрительный, второй арифметический и в основном практично. Мы находим, что геометрией пренебрегали, за исключением тех случаев, когда она служила астрономии; тригонометрия была развита, и алгебра улучшилась далеко за пределы достижений Диофанта.

Продолжение на третьей странице.

Этот документ является частью статьи по алгебре из энциклопедии, изданной в 1911 году, которая не защищена авторским правом. в США. Статья находится в свободном доступе, и вы можете копировать, скачивать, распечатывать и распространять эту работу, как видите. поместиться.

Были предприняты все усилия, чтобы представить этот текст точно и аккуратно, но никаких гарантий от ошибок сделано не было. Ни Melissa Snell, ни About не могут быть привлечены к ответственности за любые проблемы, с которыми вы столкнулись при работе с текстовой версией или с какой-либо электронной формой этого документа.

Самым ранним индийским математиком, о котором у нас есть определенные знания, является Арябхатта, который процветал около начала 6-го века нашей эры. Слава этого астронома и математика опирается на его работу, Aryabhattiyam, третья глава которого посвящена математике. Ганесса, выдающийся астроном, математик и ученый из Бхаскары, цитирует эту работу и отдельно упоминает cuttaca («пульверизатор»), устройство для осуществления решения неопределенных уравнений. Генри Томас Колебрук, один из первых современных исследователей индуистской науки, предполагает, что трактат о Арьябхатта расширился, чтобы определить квадратные уравнения, неопределенные уравнения первой степени, и, вероятно, из второй. Астрономическая работа, называемая Сурья-сиддхант («Знание Солнца»), неуверенного авторства и, вероятно, принадлежащего 4 или 5 веку, считалось огромной заслуги индусов, которые оценили его только вторым после работы Брахмагупты, который процветал около века потом. Он представляет большой интерес для исторического студента, поскольку демонстрирует влияние греческой науки на индийскую математику в период, предшествующий Арьябхатте. Примерно через столетие, в течение которого математика достигла своего высочайшего уровня, процветал Брахмагупта (б. А.Д. 598), чья работа под названием «Брахма-спхута-сиддханта» («Пересмотренная система Брахмы») содержит несколько глав, посвященных математике. О других индийских писателях можно упомянуть Кридхару, автора Ганита-сары («Квинтэссенция вычислений»), и Падманабху, автора алгебры.

Период математической стагнации тогда, кажется, овладел индийским умом в течение интервала несколько веков, ибо произведения следующего автора в любой момент стоят, но немного впереди Brahmagupta. Мы имеем в виду Бхаскару Ачарью, чья работа Siddhanta-ciromani («Диадема анастрономической системы»), написанная в 1150 году, содержит две важные главы, Lilavati (« красивые [наука или искусство] ") и вига-ганита (" извлечение корня "), которые отдаются арифметике и алгебра.

Английские переводы математических глав Брахма-сиддхант и Siddhanta-ciromani Х. Т. Колебрук (1817) и Сурья-сиддхант пока. Берджесс с аннотациями В. D. Уитни (1860), можно проконсультироваться для деталей.

Вопрос о том, заимствовали ли греки свою алгебру у индусов или наоборот, был предметом многочисленных дискуссий. Нет сомнений в том, что между Грецией и Индией было постоянное движение, и более чем вероятно, что обмен продукцией будет сопровождаться передачей идей. Мориц Кантор подозревает влияние диофантовых методов, особенно в индуистской решения неопределенных уравнений, где определенные технические термины, по всей вероятности, Греческого происхождения. Однако это может быть, несомненно, что индуистские алгебраисты намного опередили Диофанта. Недостатки греческого символизма были частично исправлены; вычитание обозначалось путем размещения точки над вычитаемым; умножение, помещая bha (сокращение от bhavita, «продукт») после факта; деление, поместив делитель под дивидендом; и квадратный корень, вставив ka (сокращение от karana, иррациональное) перед количеством. Неизвестное называлось йаваттават, и если их было несколько, первое принимало это наименование, а остальные обозначались названиями цветов; например, х был обозначен у, а у у ка (из Калака, черный).

Продолжение на четвертой странице.

Этот документ является частью статьи по алгебре из энциклопедии, изданной в 1911 году, которая не защищена авторским правом. в США. Статья находится в свободном доступе, и вы можете копировать, скачивать, распечатывать и распространять эту работу, как видите. поместиться.

Были предприняты все усилия, чтобы представить этот текст точно и аккуратно, но никаких гарантий от ошибок сделано не было. Ни Melissa Snell, ни About не могут быть привлечены к ответственности за любые проблемы, с которыми вы столкнулись при работе с текстовой версией или с какой-либо электронной формой этого документа.

Заметное улучшение идей Диофанта можно найти в том факте, что индусы признали существование двух корней квадратного уравнения, но отрицательные корни считались неадекватными, поскольку для них не удалось найти никакой интерпретации. Предполагается также, что они ожидали открытия решений высших уравнений. Большие успехи были достигнуты в исследовании неопределенных уравнений, ветви анализа, в которой Диофант преуспел. Но в то время как Диофант стремился найти единственное решение, индусы стремились к общему методу, с помощью которого можно было бы решить любую неопределенную проблему. В этом они были полностью успешны, поскольку они получили общие решения для уравнений ax (+ или -) с помощью = c, xy = ax + с помощью + c (так как вновь открыт Леонардом Эйлером) и cy2 = ax2 + b. Частный случай последнего уравнения, а именно, y2 = ax2 + 1, чрезвычайно обременителен для ресурсов современных алгебраистов. Он был предложен Пьером де Ферма Бернхарду Френикле де Бесси и в 1657 году всем математикам. Джон Уоллис и лорд Броункер совместно получили утомительное решение, которое было опубликовано в 1658 году, а затем в 1668 году Джоном Пеллом в его Алгебре. Решение также было дано Ферматом в его «Отношении». Хотя Пелл не имел ничего общего с решением, потомство назвало уравнение уравнения Пелла, или Проблема, когда более правильно это должна быть индуистская проблема, в признании математических достижений Брахманы.

Герман Ганкель указал на готовность индусов переходить от числа к величине и наоборот. Хотя этот переход от прерывистого к непрерывному не является по-настоящему научным, тем не менее он существенно усиливает развитие алгебры, и Ханкель утверждает, что если мы определяем алгебру как применение арифметических операций к рациональным и иррациональным числам или величинам, тогда настоящие изобретатели Брахманов алгебра.

Интеграция рассеянных племен Аравии в 7-м веке благодаря пропаганда Магомета сопровождалась стремительным взлетом интеллектуальных способностей доселе неясная раса. Арабы стали хранителями индийской и греческой науки, в то время как Европа была расколота внутренними раздорами. При правлении Аббасидов Багдад стал центром научной мысли; врачи и астрономы из Индии и Сирии собрались у своего двора; Греческие и индийские рукописи были переведены (работа, начатая халифом Мамуном (813-833) и умело продолженная его преемниками); и примерно через столетие арабы были переданы во владение огромными запасами греческого и индийского обучения. Элементы Евклида были впервые переведены в царствование Харун-аль-Рашид (786-809) и пересмотрены по приказу Мамуна. Но эти переводы были расценены как несовершенные, и Тобит бен Корра (836-901) оставил удовлетворительное издание. Птолемей Альмагест, работы Аполлония, Архимеда, Диофанта и части Брахмасиддханты также были переведены. Первым известным арабским математиком был Махоммед бен Муса аль-Хорезми, который процветал во времена правления Мамуна. Его трактат об алгебре и арифметике (последняя часть которого сохранилась только в форме латинского перевода, открытого в 1857 г.) не содержит ничего, что было неизвестно грекам и индуистам; это показывает методы, связанные с теми из обеих рас, с греческим элементом, преобладающим. Часть, посвященная алгебре, имеет название аль-жур вальмукабала, и арифметика начинается с «Разговор имеет Алгоритми», имя Хорезми или Ховарезми перешло в слово Алгоритми, который в дальнейшем был преобразован в более современные слова, алгоритмы и алгоритмы, обозначающие метод вычисления.

Продолжение на пятой странице.

Этот документ является частью статьи по алгебре из энциклопедии, изданной в 1911 году, которая не защищена авторским правом. в США. Статья находится в свободном доступе, и вы можете копировать, скачивать, распечатывать и распространять эту работу, как видите. поместиться.

Были предприняты все усилия, чтобы представить этот текст точно и аккуратно, но никаких гарантий от ошибок сделано не было. Ни Melissa Snell, ни About не могут быть привлечены к ответственности за любые проблемы, с которыми вы столкнулись при работе с текстовой версией или с какой-либо электронной формой этого документа.

Тобит бен Корра (836-901), родившийся в Харране в Месопотамии, опытный лингвист, математик и астроном, оказал заметную услугу своими переводами различных греческих авторов. Его исследование свойств дружных чисел (q.v.) и проблемы деления угла на угол имеет важное значение. Аравийцы больше походили на индусов, чем на греков в выборе учебы; их философы смешали умозрительные диссертации с более прогрессивным изучением медицины; их математики пренебрегали тонкостями конических сечений и диофантовым анализом и более конкретно применяли их для совершенствования системы цифры (см. NUMERAL), арифметика и астрономия (qv.). Таким образом, произошло то, что в то время как некоторый прогресс был достигнут в алгебре, таланты расы были наделены астрономия и тригонометрия (см. гл.) Фахри де аль Карби, который процветал в начале 11-го века, является автором наиболее важной арабской работы по алгебра. Он следует методам Диофанта; его работа по неопределенным уравнениям не имеет никакого сходства с индийскими методами и не содержит ничего, что нельзя было бы собрать у Диофанта. Он решал квадратные уравнения как геометрически, так и алгебраически, а также уравнения вида x2n + axn + b = 0; он также доказал определенные связи между суммой первых n натуральных чисел и суммами их квадратов и кубов.

Кубические уравнения решались геометрически путем определения пересечений конических сечений. Задача Архимеда о разделении сферы плоскостью на два отрезка с заданным соотношением была впервые выраженный Аль-Махани в виде кубического уравнения, а первое решение было дано Абу Гафаром Хазин. Определение стороны правильного семиугольника, который может быть вписан или ограничен данный круг был сведен к более сложному уравнению, которое впервые было успешно решено Абулом Гуд. Метод решения уравнений геометрически был значительно развит Омаром Хайямом из Хорасана, который процветал в 11 веке. Этот автор поставил под сомнение возможность решения кубики по чистой алгебре, а биквадратики по геометрии. Его первое утверждение не было опровергнуто до 15-го века, но его второе было устранено Абулом Вета (940-908), которому удалось решить формы x4 = a и x4 + ax3 = b.

Хотя основы геометрического разрешения кубических уравнений должны быть приписаны грекам (Евтоций приписывает Менахму два методы решения уравнения x3 = a и x3 = 2a3), однако последующее развитие арабов следует рассматривать как один из их наиболее важных достижения. Грекам удалось решить отдельный пример; арабы выполнили общее решение численных уравнений.

Значительное внимание было уделено различным стилям, в которых арабские авторы рассматривали свою тему. Мориц Кантор предположил, что когда-то существовали две школы: одна сочувствовала грекам, другая - индусам; и что, хотя писания последних были впервые изучены, они были быстро отброшены для более заметных греческих методов, поэтому что среди более поздних арабских писателей индийские методы были практически забыты, и их математика стала по существу греческой в персонаж.

Обращаясь к арабам на Западе, мы обнаруживаем тот же просвещенный дух; Кордова, столица мавританской империи в Испании, была таким же центром обучения, как и Багдад. Самым ранним известным испанским математиком является Аль Мадшритти (о. 1007), чья слава основывается на диссертации о дружных числах, а также о школах, которые были основаны его учениками в Кордое, Дама и Гранада. Габир бен Аллах из Севильи, обычно называемый Гебером, был знаменитым астрономом и, очевидно, обладал навыками алгебры, поскольку предполагалось, что слово «алгебра» составлено из его имени.

Когда мавританская империя начала угасать блестящие интеллектуальные дары, которые они так обильно питали в течение трех или четырех веками стали слабее, и после этого периода они не смогли создать автора, сопоставимого с 7-м по 11-й века.

Продолжение на шестой странице.

Этот документ является частью статьи по алгебре из энциклопедии, изданной в 1911 году, которая не защищена авторским правом. в США. Статья находится в свободном доступе, и вы можете копировать, скачивать, распечатывать и распространять эту работу, как видите. поместиться.

Были предприняты все усилия, чтобы представить этот текст точно и аккуратно, но никаких гарантий от ошибок сделано не было. Ни Melissa Snell, ни About не могут быть привлечены к ответственности за любые проблемы, с которыми вы столкнулись при работе с текстовой версией или с какой-либо электронной формой этого документа.