Вероятности и кости лжеца

Многие азартные игры могут быть проанализированы с использованием математики вероятности. В этой статье мы рассмотрим различные аспекты игры под названием Liar's Dice. После описания этой игры мы рассчитаем вероятности, связанные с ней.

Игра «Liar's Dice» - это на самом деле семейство игр, включающих блеф и обман. Есть несколько вариантов этой игры, и она носит несколько разных названий, таких как «Пиратская игра в кости», «Обман» и «Дудо». Версия этой игры была показана в фильме «Пираты Карибского моря: Сундук мертвеца».

В версии игры, которую мы рассмотрим, у каждого игрока есть кубок и набор одинакового количества кубиков. Кости - это стандартные шестигранные кости, пронумерованные от одного до шести. Каждый бросает свои кости, держа их накрытыми чашкой. В подходящее время игрок смотрит на свои наборы кубиков, скрывая их от всех остальных. Игра разработана таким образом, что каждый игрок имеет совершенные знания о своем собственном наборе игральных костей, но не знает о других выпавших кубиках.

После того, как у всех была возможность посмотреть на свои кости, которые были брошены, начинаются торги. На каждом ходу у игрока есть два варианта: сделать более высокую ставку или назвать предыдущую ставку ложью. Ставки могут быть повышены путем подачи более высокой цены на кости от одного до шести или путем подачи большего числа с той же стоимостью игры в кости.

Например, ставку «Три пары» можно увеличить, указав «Четыре пары». Это также может быть увеличено говоря «Три тройки». В общем, ни количество кубиков, ни их значения не могут уменьшаться.

Поскольку большинство кубиков скрыты от глаз, важно знать, как рассчитать некоторые вероятности. Зная это, легче увидеть, какие ставки могут быть правдой, а какие - ложью.

Первым делом стоит спросить: «Сколько кубиков одного вида мы бы ожидали?» Например, если мы бросим пять кубиков, сколько из них мы ожидаем получить два? Ответ на этот вопрос использует идею ожидаемое значение.

Ожидаемое значение случайной величины - это вероятность определенного значения, умноженная на это значение.

Вероятность того, что первый кубик равен двум, равна 1/6. Поскольку игральные кости не зависят друг от друга, вероятность того, что любой из них равен двум, равна 1/6. Это означает, что ожидаемое количество выпавших двойок составляет 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Конечно, нет ничего особенного в результате двух. Также нет ничего особенного в количестве игральных костей, которые мы рассмотрели. Если мы прокатились N кубик, то ожидаемое количество любого из шести возможных результатов N/6. Это число полезно знать, потому что оно дает нам базовую линию для использования при опросе предложений, сделанных другими.

Например, если мы играем в кости лжеца с шестью кубиками, ожидаемое значение любого из значений от 1 до 6 составляет 6/6 = 1. Это означает, что мы должны скептически относиться к тому, что кто-то делает ставку более чем на одну ценность. В конечном итоге мы бы усреднили одно из возможных значений.

Предположим, что мы бросаем пять костей, и мы хотим найти вероятность того, что бросим две тройки. Вероятность того, что кубик равен трем, равна 1/6. Вероятность того, что умирает не три, равна 5/6. Броски этих кубиков являются независимыми событиями, поэтому мы умножаем вероятности вместе, используя правило умножения.

Вероятность того, что первые два кубика - это три, а остальные - не три, определяется следующим произведением:

(1/6) х (1/6) х (5/6) х (5/6) х (5/6)

Первые два кубика - это всего лишь одна возможность. Кости, которые являются тройками, могут быть любыми двумя из пяти костей, которые мы бросаем. Мы обозначаем кубик, который не является тройкой *. Ниже приведены возможные способы получить две тройки из пяти бросков:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Мы видим, что есть десять способов бросить ровно две тройки из пяти игральных костей.

Теперь мы умножим нашу вероятность выше на 10 способов, которыми мы можем иметь эту конфигурацию игры в кости. Результат составляет 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Это примерно 16%.

Теперь обобщим приведенный выше пример. Рассмотрим вероятность прокатки N кости и получение точно К которые имеют определенную ценность.

Как и раньше, вероятность выпадения нужного нам числа составляет 1/6. Вероятность отказа от этого числа определяется правило дополнения как 5/6. Мы хотим К нашей кости, чтобы быть выбранным числом. Это означает, что N - К это число, отличное от того, которое мы хотим. Вероятность первого К игральная кость - это определенное число с другой костью, а не

(1/6)^К(5/6)^{N - К}

Было бы утомительно, не говоря уже о том, что отнимает много времени, перечислить все возможные способы броска конкретной конфигурации игры в кости. Вот почему лучше использовать наши принципы подсчета. Благодаря этим стратегиям мы видим, что мы рассчитываем комбинации.

Есть C (N, К) способы раскатать К определенного вида кости из N игральная кость. Это число задается формулой N!/(К!(N - К)!)

Собирая все вместе, мы видим, что когда мы катимся N кости, вероятность того, что именно К из них конкретное число дается по формуле:

[N!/(К!(N - К)!)] (1/6)^{К(5/6)N - К}

Есть еще один способ рассмотреть этот тип проблемы. Это включает в себя биномиальное распределение с вероятностью успеха, заданной п = 1/6. Формула для точно К определенное число этих костей известно как функция массы вероятности для бинома распределение.

Еще одна ситуация, которую мы должны рассмотреть, - это вероятность прокатки хотя бы определенного числа определенного значения. Например, когда мы бросаем пять кубиков, какова вероятность того, чтобы бросить хотя бы три? Мы могли бы бросить три, четыре или пять. Чтобы определить вероятность, которую мы хотим найти, мы складываем вместе три вероятности.

Ниже у нас есть таблица вероятностей для получения точно К определенной стоимости, когда мы бросаем пять костей.

Далее рассмотрим следующую таблицу. Это дает вероятность броска по крайней мере определенного числа значения, когда мы бросаем в общей сложности пять кубиков. Мы видим, что, хотя он может бросить хотя бы один 2, он не так вероятен, чтобы бросить хотя бы четыре 2.