Дисперсия распределения случайной величины является важной особенностью. Это число указывает на распространение распределения, и оно определяется путем возведения в квадрат среднеквадратичное отклонение. Один обычно используемый дискретный распределение это распределение Пуассона. Посмотрим, как рассчитать дисперсию распределения Пуассона с параметром λ.
Распределение Пуассона
Распределения Пуассона используются, когда мы имеем некоторый континуум и считаем дискретные изменения в этом континууме. Это происходит, когда мы учитываем количество людей, которые приходят к кассе в течение часа, отслеживают количество автомобилей, проезжающих перекресток с четырехсторонней остановкой или подсчитывающих количество дефектов, возникающих на протяжении провод.
Если мы сделаем несколько уточняющих допущений в этих сценариях, то эти ситуации соответствуют условиям пуассоновского процесса. Затем мы говорим, что случайная величина, которая подсчитывает количество изменений, имеет распределение Пуассона.
Распределение Пуассона на самом деле относится к бесконечному семейству распределений. Эти распределения снабжены единственным параметром λ. Параметр положительный настоящий номер это тесно связано с ожидаемым количеством изменений, наблюдаемых в континууме. Кроме того, мы увидим, что этот параметр равен не только жадный распределения, но также и дисперсия распределения.
Массовая функция вероятности для распределения Пуассона определяется как:
е(Икс) = (λИксе-λ)/Икс!
В этом выражении буква е это число и является математической константой со значением, приблизительно равным 2,718281828. Переменная Икс может быть любым неотрицательным целым числом.
Расчет дисперсии
Для вычисления среднего распределения Пуассона мы используем это распределение функция, генерирующая момент. Мы видим, что:
M( T ) = E [еТехас] = Σ еТехасе( Икс) = ΣеТехас λИксе-λ)/Икс!
Теперь вспомним серию Маклаурина для еU. Так как любая производная функции еU является еUвсе эти производные, оцененные в ноль, дают нам 1. Результатом является серия еU = Σ UN/N!.
При использовании серии Maclaurin для еU, мы можем выразить производящую момент функцию не в виде ряда, а в замкнутом виде. Мы объединяем все условия с показателем степени Икс. таким образом M(T) = еλ(ет - 1).
Теперь мы найдем дисперсию, взяв вторую производную от M и оценивая это в ноль. поскольку M’(T) =λеTM(T), мы используем правило произведения для вычисления второй производной:
M’’(T)=λ2е2TM’(T) + λеTM(T)
Мы оцениваем это как ноль и находим, что M’’(0) = λ2 + λ. Затем мы используем тот факт, что M’(0) = λ для расчета дисперсии.
Var (Икс) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Это показывает, что параметр λ является не только средним из распределения Пуассона, но и его дисперсией.