Доверительный интервал для среднего значения, когда мы знаем сигму

В выведенный статистикаОдной из главных целей является оценка неизвестного Населениепараметр. Вы начинаете с статистическая выборкаи из этого вы можете определить диапазон значений для параметра. Этот диапазон значений называется доверительный интервал.

Доверительные интервалы все похожи друг на друга в нескольких отношениях. Во-первых, многие двусторонние доверительные интервалы имеют одинаковую форму:

Оценить ± Граница ошибки

Во-вторых, шаги для вычисления доверительных интервалов очень похожи, независимо от типа доверительного интервала, который вы пытаетесь найти. Конкретный тип доверительного интервала, который будет рассмотрен ниже, представляет собой двусторонний доверительный интервал для среднего значения совокупности, когда вы знаете совокупность среднеквадратичное отклонение. Также предположим, что вы работаете с населением, которое нормально распределенный.

Ниже приведен процесс поиска желаемого доверительного интервала. Хотя все шаги важны, первый особенно важен:

1. Проверьте условия: Начните с обеспечения того, что условия для вашего доверительного интервала были выполнены. Предположим, что вы знаете значение стандартного отклонения населения, обозначенное как Греческая буква сигма σ. Также предположим нормальное распределение.
2. Рассчитать смету: Оцените параметр совокупности - в данном случае среднее значение совокупности - с помощью статистики, которая в данной задаче является средним по выборке. Это включает в себя формирование простая случайная выборка от населения. Иногда вы можете предположить, что ваш образец простая случайная выборкадаже если оно не соответствует строгому определению.
3. Критическое значение: Получить критическое значение Z^* это соответствует вашему уровню доверия. Эти значения можно найти, посоветовавшись с таблица z-показателей или с помощью программного обеспечения. Вы можете использовать таблицу z-показателей, поскольку вы знаете значение стандартного отклонения совокупности и предполагаете, что совокупность обычно распределена. Общие критические значения: 1,645 для уровня достоверности 90 процентов, 1,960 для уровня достоверности 95 процентов и 2,557 для уровня достоверности 99 процентов.
4. Поля ошибки: Рассчитать погрешность Z^* σ /√N, где N это размер простой случайной выборки, которую вы сформировали.
5. заключать: Закончите, составив оценку и предел погрешности. Это может быть выражено как Оценить ± Граница ошибки или как Оценка - предел ошибки в Оценка + Запас ошибки. Обязательно четко сформулируйте уровень доверия это привязано к вашему доверительному интервалу.

Чтобы увидеть, как вы можете построить доверительный интервал, проработайте пример. Предположим, вы знаете, что баллы IQ всех новичков в колледже обычно распределяются со стандартным отклонением 15. У вас есть простая случайная выборка из 100 первокурсников, а средний показатель IQ для этой выборки составляет 120. Найдите 90-процентный доверительный интервал для среднего показателя IQ для всей группы поступающих в колледж новичков.

Проработайте шаги, которые были изложены выше:

1. Проверьте условия: Условия были выполнены, так как вам сказали, что стандартное отклонение населения составляет 15 и что вы имеете дело с нормальным распределением.
2. Рассчитать смету: Вам сказали, что у вас есть простая случайная выборка размером 100. Средний IQ для этой выборки составляет 120, так что это ваша оценка.
3. Критическое значение: Критическое значение для уровня достоверности 90 процентов задается Z^* = 1.645.
4. Поля ошибки: Использовать формула погрешности и получить ошибку Z^* σ /√N = (1.645)(15) /√(100) = 2.467.
5. заключать: Заключите, собрав все вместе. 90-процентный доверительный интервал для среднего показателя IQ населения составляет 120 ± 2,467. В качестве альтернативы вы можете указать этот доверительный интервал от 117,5325 до 122,4675.

Доверительные интервалы вышеуказанного типа не очень реалистичны. Очень редко знать стандартное отклонение населения, но не знать среднее значение населения. Есть способы, которыми это нереалистичное предположение может быть удалено.

В то время как вы предполагали нормальное распределение, это предположение не должно выполняться. Хорошие образцы, которые не показывают сильных перекос или иметь какие-либо выбросы, наряду с достаточно большим размером выборки, позволяют вам вызывать Центральная предельная теорема. В результате вы можете использовать таблицу z-показателей даже для групп, которые обычно не распределены.