Каковы законы де Моргана?

Математическая статистика иногда требует использования теории множеств. Законы де Моргана - это два утверждения, которые описывают взаимодействие между различными операциями теории множеств. Законы таковы, что для любых двух наборов и В:

1. ( ∩ В)^С = ^С U В^С.
2. ( U В)^С = ^С ∩ В^С.

После объяснения того, что означает каждое из этих утверждений, мы рассмотрим пример каждого из них.

Чтобы понять, что говорят законы де Моргана, мы должны вспомнить некоторые определения операций теории множеств. В частности, мы должны знать о союз и пересечение из двух наборов и дополнения набора.

Законы де Моргана касаются взаимодействия союза, пересечения и дополнения. Напомним, что:

• Пересечение множеств и В состоит из всех элементов, которые являются общими для обоих и В. Пересечение обозначается ∩ В.
• Союз множеств и В состоит из всех элементов, которые в любом или В, включая элементы в обоих наборах. Пересечение обозначено A U B.
• Дополнение к набору состоит из всех элементов, которые не являются элементами . Это дополнение обозначено как^С.

Теперь, когда мы вспомнили об этих элементарных операциях, мы увидим изложение законов де Моргана. Для каждой пары комплектов и В у нас есть:

1. ( ∩ В)^С = ^С U В^С
2. ( U В)^С = ^С ∩ В^С

Эти два утверждения можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна. Как видно ниже, мы можем продемонстрировать на примере. Чтобы продемонстрировать, что эти утверждения верны, мы должны докажи им используя определения операций теории множеств.

Например, рассмотрим набор вещественные числа от 0 до 5. Запишем это в интервальной записи [0, 5]. В этом наборе мы имеем = [1, 3] и В = [2, 4]. Кроме того, после применения наших элементарных операций мы имеем:

• Дополнение ^С = [0, 1) U (3, 5]
• Дополнение В^С = [0, 2) U (4, 5]
• Союз U В = [1, 4]
• Пересечение ∩ В = [2, 3]

Начнем с расчета союза ^С U В^С. Мы видим, что объединение [0, 1) U (3, 5) с [0, 2) U (4,5) есть [0,2) U (3,5). Пересечение ∩ В есть [2, 3]. Мы видим, что дополнением к этому множеству [2, 3] также является [0, 2) U (3, 5]. Таким образом, мы продемонстрировали, что ^С U В^С = ( ∩ В)^С.

Теперь мы видим пересечение [0, 1) U (3, 5) с [0, 2) U (4, 5] есть [0, 1) U (4, 5]. Мы также видим, что дополнением к [1, 4] также является [0, 1) U (4,5). Таким образом, мы продемонстрировали, что ^С ∩ В^С = ( U В)^С.

На протяжении всей истории логики такие люди, как Аристотель и Уильям Оккамский сделали заявления, эквивалентные законам де Моргана.

Законы де Моргана названы в честь Августа де Моргана, который жил в 1806–1871 гг. Хотя он не открыл эти законы, он был первым, кто ввел эти утверждения формально, используя математическую формулировку в логике высказываний.