Биномиальные распределения являются важным классом дискретных распределение вероятностей. Эти типы распределений являются серией N независимые испытания Бернулли, каждое из которых имеет постоянную вероятность п успеха. Как и в случае любого распределения вероятностей, мы хотели бы знать, что означает его среднее значение или центр. Для этого мы действительно спрашиваем: «Что такое ожидаемое значение биномиального распределения? »
Интуиция против доказательство
Если мы тщательно подумаем о биномиальное распределениеНетрудно определить, что ожидается значение этого типа распределения вероятностей является нп. Для нескольких быстрых примеров этого рассмотрим следующее:
- Если мы бросим 100 монет, и Икс количество головок, ожидаемое значение Икс составляет 50 = (1/2) 100.
- Если мы берем тест с несколькими вариантами ответов с 20 вопросами, и у каждого вопроса есть четыре варианта выбора (только один из что правильно), то случайное предположение означает, что мы ожидаем получить только (1/4) 20 = 5 вопросов верный.
В обоих этих примерах мы видим, что E [X] = n p. Два случая вряд ли достаточно, чтобы прийти к выводу. Хотя интуиция является хорошим инструментом для руководства, нам недостаточно сформировать математический аргумент и доказать, что что-то верно. Как мы можем окончательно доказать, что ожидаемое значение этого распределения действительно н.п.?
Из определения ожидаемого значения и функции вероятности массы для биномиальное распределение из N испытания вероятности успеха пМы можем продемонстрировать, что наша интуиция соответствует плодам математической строгости. Мы должны быть несколько осторожны в нашей работе и ловко манипулировать биномиальным коэффициентом, который задается формулой для комбинаций.
Начнем с использования формулы:
E [X] = Σ х = 0N x C (n, x) pИкс(1-р)н - х.
Так как каждый член суммирования умножается на Икс, значение термина, соответствующего х = 0 будет 0, и поэтому мы можем написать:
E [X] = Σ х = 1N x C (n, x) p Икс (1 - р) н - х .
Управляя факториалами, участвующими в выражении для C (n, x) мы можем переписать
x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).
Это правда, потому что:
x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).
Следует, что:
E [X] = Σ х = 1N n C (n - 1, x - 1) p Икс (1 - р) н - х .
Мы учитываем N и один п из вышеприведенного выражения:
E [X] = np Σ х = 1N C (n - 1, x - 1) p х - 1 (1 - р) (n - 1) - (x - 1) .
Смена переменных г = х - 1 дает нам:
E [X] = np Σ г = 0n - 1 C (n - 1, r) p р (1 - р) (n - 1) - r .
По биноминальной формуле (х + у)К = Σ г = 0 КC (k, r) xр Yк - р вышеприведенное суммирование можно переписать так:
E [X] = (np) (p + (1 - p))n - 1 = нп
Приведенный выше аргумент проделал нам долгий путь. Начав с определения ожидаемой величины и функции вероятности для биномиального распределения, мы доказали то, что нам подсказала наша интуиция. Ожидаемое значение биномиальное распределениеB (n, p) является п р.