Ожидаемое значение для Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck - это азартная игра. Три кости свернуты, иногда в проволочную раму. Благодаря этой рамке, эта игра также называется птичья клетка. Эта игра чаще встречается на карнавалах, чем в казино. Однако из-за использования случайных кубиков мы можем использовать вероятность для анализа этой игры. Более конкретно мы можем рассчитать ожидаемую стоимость этой игры.

Существует несколько типов ставок, на которые можно делать ставки. Мы будем рассматривать только одну ставку. В этой ставке мы просто выбираем конкретное число от одного до шести. Затем мы бросаем кости. Рассмотрим возможности. Все кости, две из них, одна из них или ни одна, могут показать число, которое мы выбрали.

Предположим, что эта игра заплатит следующее:

• 3 доллара, если все три кубика соответствуют выбранному числу.
• 2 доллара, если ровно две кости соответствуют выбранному числу.
• $ 1, если ровно один из кубиков соответствует выбранному числу.

Если ни один из кубиков не соответствует выбранному числу, то мы должны заплатить 1 доллар.

Какова ожидаемая ценность этой игры? Другими словами, в долгосрочной перспективе, сколько в среднем мы ожидаем выиграть или проиграть, если будем играть в эту игру неоднократно?

Чтобы найти ожидаемое значение этой игры, нам нужно определить четыре вероятности. Эти вероятности соответствуют четырем возможным исходам. Мы отмечаем, что каждый кубик не зависит от других. Благодаря этой независимости мы используем правило умножения. Это поможет нам в определении количества результатов.

Мы также предполагаем, что кости являются справедливыми. Каждая из шести сторон на каждой из трех костей одинаково вероятна для броска.

Есть 6 х 6 х 6 = 216 возможных результатов от бросания этих трех костей. Это число будет знаменателем для всех наших вероятностей.

Существует один способ сопоставить все три кубика с выбранным числом.

Есть пять способов, чтобы один кубик не совпадал с выбранным нами числом. Это означает, что есть 5 х 5 х 5 = 125 способов, чтобы ни одна из наших костей не соответствовала выбранному числу.

Если мы рассмотрим ровно два совпадения кубиков, то у нас будет один кубик, который не совпадает

• Есть 1 x 1 x 5 = 5 способов для первых двух костей, чтобы соответствовать нашему числу, и третий, чтобы отличаться.
• Существует 1 x 5 x 1 = 5 способов сопоставить первую и третью кости, а вторая будет другой.
• Есть 5 х 1 х 1 = 5 способов, чтобы первый кубик отличался, а второй и третий соответствовали.

Это означает, что есть в общей сложности 15 способов для совпадения ровно двух кубиков.

Теперь мы рассчитали количество способов получить все, кроме одного из наших результатов. Возможны 216 бросков. Мы составили 1 + 15 + 125 = 141 из них. Это означает, что осталось 216 -141 = 75.

Мы собираем всю вышеуказанную информацию и видим:

• Вероятность того, что наше число совпадает со всеми тремя кубиками, равна 1/216.
• Вероятность того, что наше число соответствует ровно двум кубикам, равна 15/216.
• Вероятность того, что наше число соответствует ровно одному кубику, составляет 75/216.
• Вероятность того, что наше число не соответствует ни одному из кубиков, равна 125/216

Теперь мы готовы рассчитать ожидаемое значение этой ситуации. формула для ожидаемого значения требует от нас умножить вероятность каждого события на чистую прибыль или убыток в случае возникновения события. Затем мы добавляем все эти продукты вместе.

Расчет ожидаемого значения выглядит следующим образом:

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

Это примерно - 0,08 доллара. Интерпретация заключается в том, что если бы мы играли в эту игру несколько раз, в среднем мы теряли бы 8 центов каждый раз, когда играли.