Понимание эквивалентных уравнений в алгебре

Эквивалентные уравнения - это системы уравнений, которые имеют одинаковые решения. Определение и решение эквивалентных уравнений является ценным навыком не только в класс алгебры но и в повседневной жизни. Посмотрите на примеры эквивалентных уравнений, как их решить для одной или нескольких переменных, и как вы можете использовать этот навык вне классной комнаты.

Ключевые вынос

Простейшие примеры эквивалентных уравнений не имеют переменных. Например, эти три уравнения эквивалентны друг другу:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Признание этих уравнений равнозначно, но не особенно полезно. Как правило, проблема эквивалентного уравнения просит вас решить для переменной, чтобы увидеть, если она одинакова (то же самое

Например, следующие уравнения эквивалентны:

• х = 5
• -2x = -10

В обоих случаях х = 5. Откуда нам это знать? Как вы решаете это для уравнения «-2x = -10»? Первый шаг - узнать правила эквивалентных уравнений:

• Добавление или вычитание одного и того же числа или выражения в обе стороны уравнения дает эквивалентное уравнение.
• Умножение или деление обеих сторон уравнения на одно и то же ненулевое число дает эквивалентное уравнение.
• Поднятие обеих сторон уравнения до та же странная сила или взятие того же нечетного корня даст эквивалентное уравнение.
• Если обе стороны уравнения не являютсяотрицательныйподнятие обеих сторон уравнения до одинаковой четной степени или получение одинакового четного корня даст эквивалентное уравнение.

Применяя эти правила на практике, определите, эквивалентны ли эти два уравнения:

• х + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Чтобы решить эту проблему, вам нужно найти «х» для каждого уравнение. Если «x» одинаково для обоих уравнений, то они эквивалентны. Если «х» отличается (то есть, уравнения имеют разные корни), то уравнения не эквивалентны. Для первого уравнения:

• х + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (вычитая обе стороны на одно и то же число)
• х = 5

Для второго уравнения:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (вычитая обе стороны на одно и то же число)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (разделив обе части уравнения на одно и то же число)
• х = 5

Итак, да, два уравнения эквивалентны, потому что x = 5 в каждом случае.

Вы можете использовать эквивалентные уравнения в повседневной жизни. Это особенно полезно при совершении покупок. Например, вам нравится конкретная рубашка. Одна компания предлагает рубашку за 6 долларов и доставку за 12 долларов, а другая компания предлагает рубашку за 7,50 доллара и доставку за 9 долларов. Какая рубашка имеет лучшую цену? Сколько рубашек (возможно, вы хотите получить их для друзей) вы должны купить по цене, которая будет одинаковой для обеих компаний?

Чтобы решить эту проблему, пусть «х» будет количество рубашек. Для начала установите x = 1 для покупки одной рубашки. Для компании № 1:

• Цена = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 долларов

Для компании № 2:

• Цена = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50

Итак, если вы покупаете одну рубашку, вторая компания предлагает более выгодную сделку.

Чтобы найти точку, где цены равны, пусть «х» остается количество рубашек, но установить два уравнения равными друг другу. Решите для "х", чтобы найти, сколько рубашек вам придется купить:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7.5x = 9 - 12 (вычитая одинаковые цифры или выражения с каждой стороны)
• -1,5х = -3
• 1,5x = 3 (деление обеих сторон на одно и то же число, -1)
• х = 3 / 1,5 (деление обеих сторон на 1,5)
• х = 2

Если вы покупаете две рубашки, цена будет одинаковой, независимо от того, где вы ее получите. Вы можете использовать ту же математику, чтобы определить, какая компания дает вам более выгодную сделку с более крупными заказами, а также рассчитать, сколько вы сэкономите, используя одну компанию над другой. Видите, алгебра полезна!

Если у вас есть два уравнения и два неизвестных (x и y), вы можете определить, эквивалентны ли два набора линейных уравнений.

Например, если вы получили уравнения:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Вы можете определить, является ли следующая система эквивалентной:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

к решить эту проблемунайдите «x» и «y» для каждой системы уравнений. Если значения одинаковы, то системы уравнений эквивалентны.

Начните с первого сета. Решить два уравнения с двумя переменные, выделите одну переменную и включите ее решение в другое уравнение. Чтобы изолировать переменную "y":

• -3x + 12y = 15
• -3х = 15 - 12лет
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (вставьте «x» во втором уравнении)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4 года) - 10 лет = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18 лет = 33
• у = 33/18 = 11/6

Теперь вставьте «y» обратно в любое уравнение, чтобы найти «x»:

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Работая с этим, вы в конечном итоге получите х = 7/3.

Чтобы ответить на вопрос, вы мог примените те же принципы ко второму набору уравнений, чтобы решить для «х» и «у», чтобы найти, что да, они действительно эквивалентны. Легко увязнуть в алгебре, поэтому неплохо проверить свою работу, используя онлайн решатель уравнений.

Тем не менее, умный студент заметит, что два набора уравнений эквивалентны без каких-либо сложных расчетов вообще. Единственная разница между первым уравнением в каждом наборе состоит в том, что первое в три раза больше второго (эквивалентно). Второе уравнение точно такое же.