Что такое пересечение двух множеств?

Когда имеешь дело с теория множествЕсть ряд операций для создания новых наборов из старых. Одна из наиболее распространенных операций над множествами называется пересечением. Проще говоря, пересечение двух множеств и В это набор всех элементов, которые оба и В иметь общее.

Мы рассмотрим детали, касающиеся пересечения в теории множеств. Как мы увидим, ключевым словом здесь является слово «и».

Для примера того, как пересечение двух множеств образует новый набордавайте рассмотрим наборы = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Чтобы найти пересечение этих двух наборов, нам нужно выяснить, какие элементы у них общие. Числа 3, 4, 5 являются элементами обоих множеств, поэтому пересечения и В это {3. 4. 5].

В дополнение к пониманию концепций, касающихся операций теории множеств, важно уметь читать символы, используемые для обозначения этих операций. Символ для пересечения иногда заменяется словом «и» между двумя наборами. Это слово предлагает более компактное обозначение для пересечения, которое обычно используется.

Символ, используемый для пересечения двух множеств и В дан кем-то ∩ В. Один из способов помнить, что этот символ ∩ относится к пересечению, состоит в том, чтобы заметить его сходство с заглавной буквой A, что сокращенно от слова «и».

Чтобы увидеть эту запись в действии, вернитесь к приведенному выше примеру. Здесь у нас были наборы = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Таким образом, мы бы написать уравнение ∩ В = {3, 4, 5}.

Одна базовая идентичность, которая включает пересечение, показывает нам, что происходит, когда мы берем пересечение любого множества с пустым множеством, обозначенным # 8709. Пустой набор - это набор без элементов. Если по крайней мере в одном из наборов, которые мы пытаемся найти пересечение, нет элементов, то эти два набора не имеют общих элементов. Другими словами, пересечение любого множества с пустой набор даст нам пустой набор.

Эта идентичность становится еще более компактной с использованием нашей записи. У нас есть личность: ∩ ∅ = ∅.

Для другой крайности, что происходит, когда мы исследуем пересечение множества с универсальным множеством? Подобно тому, как слово вселенная используется в астрономии, чтобы означать все, универсальный набор содержит каждый элемент. Отсюда следует, что каждый элемент нашего множества также является элементом универсального множества. Таким образом, пересечение любого набора с универсальным набором - это набор, с которого мы начали.

Опять же, наши обозначения приходят на помощь, чтобы выразить эту идентичность более кратко. Для любого набора и универсальный набор U, ∩ U = .

Есть много других заданных уравнений, которые включают использование операции пересечения. Конечно, это всегда хорошо практика используя язык теории множеств. Для всех комплектов , и В и D у нас есть:

• Рефлексивная собственность: ∩ =
• Коммутативная собственность: ∩ В = В ∩
• Ассоциативная собственность: ( ∩ В) ∩ D = ∩ (В ∩ D)
• Распределительное свойство: ( ∪ В) ∩ D = ( ∩ D)∪ (В ∩ D)
• Закон Деморгана I: ( ∩ В)^С = ^С ∪ В^С
• Закон Деморгана II: ( ∪ В)^С = ^С ∩ В^С