Что такое аксиомы вероятности?

Одна из стратегий в математике состоит в том, чтобы начать с нескольких утверждений, а затем построить больше математики из этих утверждений. Начальные утверждения известны как аксиомы. Аксиома, как правило, является чем-то математически самоочевидным. Из сравнительно короткого списка аксиом дедуктивная логика используется для доказательства других утверждений, называемых теоремами или суждениями.

Область математики, известная как вероятность, ничем не отличается. Вероятность может быть уменьшена до трех аксиом. Впервые это сделал математик Андрей Колмогоров. Горстка аксиом, лежащих в основе вероятности, может быть использована для вывода всех виды результатов. Но что это за аксиомы вероятности?

Чтобы понять аксиомы для вероятности, мы должны сначала обсудить некоторые основные определения. Мы предполагаем, что у нас есть набор результатов, называемых пробным пространством С. Этот образец пространства можно рассматривать как универсальный набор для ситуации, которую мы изучаем. Образец пространства состоит из подмножеств, называемых событиями

Мы также предполагаем, что существует способ присвоения вероятности любому событию. Е. Это можно рассматривать как функцию, которая имеет набор для ввода и настоящий номер в качестве выхода. Вероятность событиеЕ обозначается п(Е).

Первая аксиома вероятности состоит в том, что вероятность любого события является неотрицательным действительным числом. Это означает, что наименьшая вероятность того, что вероятность когда-либо может быть равна нулю, и что она не может быть бесконечной. Набор чисел, которые мы можем использовать, являются действительными числами. Это относится как к рациональным числам, также известным как дроби, так и к иррациональным числам, которые нельзя записать в виде дробей.

Следует отметить, что эта аксиома ничего не говорит о том, насколько велика вероятность того или иного события. Аксиома исключает возможность отрицательных вероятностей. Он отражает представление о том, что наименьшая вероятность, зарезервированная для невозможных событий, равна нулю.

Вторая аксиома вероятности заключается в том, что вероятность всего выборочного пространства равна единице. Символически мы пишем п(S) = 1. В этой аксиоме подразумевается, что выборочное пространство - это все, что возможно для нашего вероятностного эксперимента, и что за пределами выборочного пространства нет событий.

Сама по себе эта аксиома не устанавливает верхний предел вероятностей событий, которые не являются всем образцом пространства. Это отражает то, что что-то с абсолютной уверенностью имеет вероятность 100%.

Третья аксиома вероятности касается взаимоисключающих событий. Если Е₁ и Е₂ находятся взаимоисключающийЭто означает, что они имеют пустое пересечение, и мы используем U, чтобы обозначить объединение, тогда п(Е₁ U Е₂ ) = п(Е₁) + п(Е₂).

Аксиома фактически охватывает ситуацию с несколькими (даже счетно бесконечными) событиями, каждая пара которых является взаимоисключающей. Пока это происходит, вероятность объединения событий совпадает с суммой вероятностей:

п(Е₁ U Е₂ Университет.. U Е_N ) = п(Е₁) + п(Е₂) +... + Е_N

Хотя эта третья аксиома может показаться не очень полезной, мы увидим, что в сочетании с двумя другими аксиомами она действительно очень мощная.

Три аксиомы устанавливают верхнюю границу для вероятности любого события. Обозначим дополнение мероприятия Е по Е^С. Из теории множеств, Е и Е^С имеют пустое пересечение и являются взаимоисключающими. более того Е U Е^С = S, весь образец пространства.

Эти факты в сочетании с аксиомами дают нам:

1 = п(S) = п(Е U Е^С) = п(Е) + п(Е^С) .

Переставляем приведенное выше уравнение и видим, что п(Е) = 1 - п(Е^С). Поскольку мы знаем, что вероятности должны быть неотрицательными, теперь мы имеем верхнюю оценку вероятности любого события, равную 1.

Переставляя формулу снова, мы имеем п(Е^С) = 1 - п(Е). Мы также можем вывести из этой формулы, что вероятность того, что событие не произойдет, составляет один минус вероятность того, что оно произойдет.

Вышеприведенное уравнение также дает нам способ вычислить вероятность невозможного события, обозначенного пустым множеством. Чтобы увидеть это, напомним, что пустой набор является дополнением универсального набора, в данном случае S^С. С 1 = п(S) + п(S^С) = 1 + п(S^С) по алгебре имеем п(S^С) = 0.

Выше приведены лишь несколько примеров свойств, которые могут быть доказаны непосредственно из аксиом. Есть еще много результатов в вероятности. Но все эти теоремы являются логическим продолжением трех аксиом вероятности.