Вероятность малого стрита в Яхтзе за один бросок

Yahtzee - игра в кости, в которой используются пять стандартных шестигранных кубиков. На каждом ходу игроки получают три бросает, чтобы получить несколько разных целей. После каждого броска игрок может решить, какие из костей (если таковые имеются) должны быть оставлены, а какие - переброшены. Цели включают в себя различные комбинации, многие из которых взяты из покера. Каждый вид комбинации приносит разное количество очков.

Два типа комбинаций, которые игроки должны бросить, называются страйт: маленький прямой и большой прямой. Как и покерные стриты, эти комбинации состоят из последовательных кубиков. Маленькие стриты используют четыре из пяти кубиков и большие стриты использовать все пять кубиков. Из-за случайности броска игральных костей вероятность может быть использована для анализа вероятности броска небольшого стрита за один бросок.

Мы предполагаем, что используемые кости являются справедливыми и независимыми друг от друга. Таким образом, существует единое пространство для образцов, состоящее из всех возможных бросков пяти кубиков. Хотя

Так как мы работаем с единообразныйпробное пространствовычисление нашей вероятности становится вычислением пары проблем подсчета. Вероятность малого стрита - это количество способов бросить маленький стрит, деленное на количество результатов в пространстве выборки.

Очень легко подсчитать количество результатов в выборочном пространстве. Мы бросаем пять кубиков, и каждый из этих кубиков может иметь один из шести разных результатов. Основное применение принципа умножения говорит нам, что выборочное пространство имеет 6 х 6 х 6 х 6 х 6 = 6⁵ = 7776 результатов. Это число будет знаменателем дробей, которые мы используем для нашей вероятности.

Далее нам нужно знать, сколько существует способов выпустить небольшой стрит. Это сложнее, чем рассчитать размер выборочного пространства. Мы начнем с подсчета, сколько стритов возможно.

Малый прямой легче катить, чем большой прямой, однако, сложнее сосчитать количество способов катания этого типа прямых. Маленькая прямая состоит из ровно четырех последовательных чисел. Поскольку существует шесть различных граней матрицы, существует три возможных небольших прямых: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} и {3, 4, 5, 6}. Трудность возникает при рассмотрении того, что происходит с пятым кубиком. В каждом из этих случаев пятый кубик должен быть числом, которое не создает большой стрит. Например, если первые четыре кубика были 1, 2, 3 и 4, пятый кубик мог быть чем-то отличным от 5. Если пятый кубик был 5, то у нас был бы большой стрит, а не маленький стрит.

Это означает, что есть пять возможных бросков, которые дают небольшой прямой {1, 2, 3, 4}, пять возможных рулоны, которые дают маленькие прямые {3, 4, 5, 6} и четыре возможных рулона, которые дают маленькие прямые {2, 3, 4, 5}. Этот последний случай отличается, потому что бросок 1 или 6 для пятого кристалла изменит {2, 3, 4, 5} на большую прямую. Это означает, что есть 14 различных способов, которыми пять костей могут дать нам маленький стрит.

Теперь мы определяем различное количество способов бросить конкретный набор костей, которые дают нам стрит. Поскольку нам нужно только знать, сколько существует способов сделать это, мы можем использовать некоторые базовые методы подсчета.

Из 14 различных способов получения небольших прямых линий только два из них {1,2,3,4,6} и {1,3,4,5,6} являются наборами с различными элементами. Есть 5! = 120 способов бросить каждый на общую сумму 2 х 5! = 240 маленьких прямых.

Остальные 12 способов иметь небольшой стрит - технически мультимножества, поскольку все они содержат повторяющийся элемент. Для одного конкретного мультимножества, такого как [1,1,2,3,4], мы посчитаем количество разных способов выполнить это. Думайте о кости как о пяти позициях подряд:

• Есть C (5,2) = 10 способов расположить два повторяющихся элемента среди пяти кубиков.
• Есть 3! = 6 способов упорядочить три разных элемента.

По принципу умножения, есть 6 x 10 = 60 различных способов бросить кости 1,1,2,3,4 в одном броске.

Есть 60 способов бросить один такой маленький стрит с помощью этого пятого кубика. Поскольку существует 12 мультимножеств, дающих различный список из пяти кубиков, существует 60 x 12 = 720 способов бросить маленький стрит, в котором совпадают два кубика.

Всего 2 х 5! + 12 х 60 = 960 способов выпустить маленький стрит.

Теперь вероятность выпадения небольшого стрита - это простое вычисление деления. Так как есть 960 различных способов бросить маленький прямой в одном рулоне, и есть 7776 пять возможных костей, вероятность выпадения небольшого стрита равна 960/7776, что близко к 1/8 и 12.3%.

Конечно, более вероятно, что первый бросок не является прямым. Если это так, то нам разрешают еще два броска, что делает небольшую прямую намного более вероятной. Вероятность этого гораздо сложнее определить из-за всех возможных ситуаций, которые необходимо будет рассмотреть.