Как использовать «если и только если» в математике

Читая о статистике и математике, одна фраза, которая регулярно появляется, «если и только если». Эта фраза особенно появляется в формулировках математических теорем или доказательств. Но что именно означает это утверждение?

Чтобы понять «тогда и только тогда», мы должны сначала узнать, что подразумевается под условным утверждением. Условный оператор - тот, который сформирован из двух других утверждений, которые мы обозначим через P и Q. Чтобы сформировать условное утверждение, мы могли бы сказать «если P, то Q».

Ниже приведены примеры такого рода утверждений:

• Если на улице идет дождь, тогда я беру свой зонт с собой на прогулку.
• Если вы усердно учитесь, то вы получите А.
• Если N делится на 4, то N делится на 2.

Три других утверждения относятся к любому условному утверждению. Это называется обратное, обратное и противоположное. Мы формируем эти утверждения, изменяя порядок P и Q по сравнению с первоначальным условным обозначением и вставляя слово «not» для обратного и противоположного.

Нам нужно только рассмотреть обратное здесь. Это утверждение получается из оригинала, говоря «если Q, то P.» Предположим, мы начнем с условного «если на улице идет дождь, то я возьми мой зонт с собой на прогулку. Обратное утверждение этого утверждения: «Если я возьму с собой на прогулку зонтик, то пойдет дождь снаружи."

Нам нужно только рассмотреть этот пример, чтобы понять, что исходное условное выражение не совпадает с его обратным. Путаница этих двух форм заявления известна как обратная ошибка. На прогулке можно взять зонт, хотя на улице может и не идти дождь.

В качестве другого примера рассмотрим условие «Если число делится на 4, то оно делится на 2». Это утверждение явно верно. Однако обратное утверждение «Если число делится на 2, то оно делится на 4» неверно. Нам нужно только взглянуть на число, такое как 6. Хотя 2 делит это число, 4 нет. Хотя первоначальное утверждение верно, обратное утверждение - нет.

Это приводит нас к двухусловному утверждению, которое также известно как утверждение «если и только если». У некоторых условных утверждений также есть обратные утверждения. В этом случае мы можем сформировать так называемое двухусловное утверждение. Двухусловное утверждение имеет вид:

«Если P, то Q, а если Q, то P.»

Так как это строительство несколько неловко, особенно когда P и Q являются их собственными логическими утверждениями, мы упрощаем утверждение двухусловного, используя фразу "если и только если." Вместо того чтобы сказать «если P, то Q, а если Q, то P», мы вместо этого говорим «P тогда и только тогда, когда Q». Эта конструкция устраняет некоторые избыточность.

В качестве примера фразы «если и только если», которая включает статистику, посмотрите не более чем факт, касающийся выборочного стандартного отклонения. Стандартное отклонение выборки набора данных равно нуль тогда и только тогда, когда все значения данных идентичны.

Разобьем это двухусловное утверждение на условное и обратное. Затем мы видим, что это утверждение означает оба следующих:

• Если стандартное отклонение равно нулю, то все значения данных идентичны.
• Если все значения данных идентичны, то стандартное отклонение равно нулю.

Если мы пытаемся доказать бикондиционность, то большую часть времени мы в конечном итоге разделяем ее. Это делает наше доказательство состоящим из двух частей. Одна часть, которую мы доказываем, это «если P, то Q». Другая часть доказательства, которая нам нужна, это «если Q, то P.»

Двусторонние утверждения относятся к условиям, которые являются необходимыми и достаточными. Рассмотрим утверждение «если сегодня Пасхальныйтогда завтра понедельник. Сегодняшней Пасхи достаточно, чтобы завтра быть понедельником, однако в этом нет необходимости. Сегодня может быть любое воскресенье, кроме Пасхи, а завтра все равно будет понедельник.

Фраза «если и только если» используется достаточно часто в математической письменности, что имеет свое собственное сокращение. Иногда двусмысленное выражение «если и только если» сокращается до просто «ифф». Таким образом, утверждение «P тогда и только тогда, когда Q» становится «P тогда и только тогда, когда Q».