Функции, генерирующие момент случайных величин

Один из способов расчета среднего значения и дисперсии распределение вероятностей это найти ожидаемые значения случайных величин Икс и Икс². Мы используем обозначения Е(Икс) и Е(Икс²) для обозначения этих ожидаемых значений. В общем, сложно рассчитать Е(Икс) и Е(Икс²) напрямую. Чтобы обойти эту трудность, мы используем более продвинутую математическую теорию и исчисление. Конечный результат облегчает наши расчеты.

Стратегия для этой проблемы состоит в том, чтобы определить новую функцию, новую переменную T это называется производящей момент функции. Эта функция позволяет нам вычислять моменты, просто беря производные.

Прежде чем мы определим функцию, генерирующую момент, мы начнем с определения этапа с помощью обозначений и определений. Мы позволим Икс быть дискретная случайная величина. Эта случайная величина имеет функцию вероятности массы е(Икс). Образец пространства, с которым мы работаем, будет обозначен S.

Вместо того, чтобы рассчитывать ожидаемое значение Икс, мы хотим вычислить ожидаемое значение экспоненциальной функции, связанной с

Генерирующая момент функция является ожидаемым значением показательной функции выше. Другими словами, мы говорим, что момент, производящий функцию Икс дан кем-то:

M(T) = Е(е^Техас)

Это ожидаемое значение является формулой Σ е^Техасе (Икс), где суммирование берется по всем Икс в пробное пространствоS. Это может быть конечная или бесконечная сумма, в зависимости от используемого пробного пространства.

Функция генерирования моментов имеет много функций, которые связаны с другими темами в области вероятности и математической статистики. Некоторые из его наиболее важных функций включают в себя:

• Коэффициент е^Т.Б. вероятность того, что Икс = б.
• Генерирующие момент функции обладают свойством уникальности. Если функции, генерирующие моменты для двух случайных величин, совпадают друг с другом, то функции вероятностной массы должны быть одинаковыми. Другими словами, случайные величины описывают одинаковое распределение вероятностей.
• Функции генерирования моментов могут быть использованы для вычисления моментов Икс.

Последний пункт в приведенном выше списке объясняет название функций, генерирующих моменты, а также их полезность. Некоторые продвинутые математики говорят, что в условиях, которые мы изложили, производная любого порядка функции M (T) существует, когда T = 0. Кроме того, в этом случае мы можем изменить порядок суммирования и дифференцирования относительно T чтобы получить следующие формулы (все суммирования по значениям Икс в пробном пространстве S):

• M’(T) = Σ хе^Техасе (Икс)
• M’’(T) = Σ Икс²е^Техасе (Икс)
• M’’’(T) = Σ Икс³е^Техасе (Икс)
• M^(П)’(T) = Σ Икс^Nе^Техасе (Икс)

Если мы установим T = 0 в приведенных выше формулах, то е^Техас срок становится е⁰ = 1. Таким образом, мы получаем формулы для моментов случайной величины Икс:

• M’(0) = Е(Икс)
• M’’(0) = Е(Икс²)
• M’’’(0) = Е(Икс³)
• M^(N)(0) = Е(Икс^N)

Это означает, что если функция, генерирующая момент, существует для конкретной случайной величины, то мы можем найти ее среднее значение и ее дисперсию в терминах производных функции, генерирующей момент. Среднее значение M’(0), и дисперсия M’’(0) – [M’(0)]².

Таким образом, нам пришлось немного углубиться в довольно мощную математику, поэтому некоторые вещи были заглушены. Хотя мы должны использовать исчисление для вышеизложенного, в конце концов, наша математическая работа, как правило, проще, чем путем вычисления моментов непосредственно из определения.