Ассоциативные и коммутативные свойства

Есть несколько математических свойств, которые используются в статистика и вероятность; два из них, коммутативные и ассоциативные свойства, как правило, связаны с основной арифметикой целые, рациональные и вещественные числахотя они также появляются в более продвинутой математике.

Эти свойства - коммутативные и ассоциативные - очень похожи и могут быть легко перепутаны. По этой причине важно понимать разницу между ними.

Коммутативное свойство касается порядка определенных математических операций. Для бинарной операции, в которой участвуют только два элемента, это можно показать уравнением a + b = b + a. Операция является коммутативной, поскольку порядок элементов не влияет на результат операции. Ассоциативное свойство, с другой стороны, касается группировки элементов в операции. Это можно показать уравнением (a + b) + c = a + (b + c). Группировка элементов, как указано в скобках, не влияет на результат уравнения. Обратите внимание, что когда используется коммутативное свойство, элементы в уравнении

Проще говоря, коммутативное свойство утверждает, что факторы в уравнении можно свободно переставлять, не влияя на результат уравнения. Поэтому коммутативное свойство касается порядка операций, включая сложение и умножение действительных чисел, целых и рациональных чисел.

Например, числа 2, 3 и 5 можно сложить в любом порядке, не влияя на конечный результат:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

Числа также могут быть умножены в любом порядке, не влияя на конечный результат:

2 х 3 х 5 = 30

3 х 2 х 5 = 30

5 х 3 х 2 = 30

Однако вычитание и деление не являются операциями, которые могут быть коммутативными, поскольку важен порядок операций. Три числа выше не можешьнапример, вычитаться в любом порядке, не влияя на конечное значение:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

В результате коммутативное свойство может быть выражено через уравнения a + b = b + a и a x b = b x a. Независимо от порядка значений в этих уравнениях, результаты всегда будут одинаковыми.

Ассоциативное свойство гласит, что группировка факторов в операции может быть изменена, не влияя на результат уравнения. Это можно выразить через уравнение a + (b + c) = (a + b) + c. Независимо от того, какая пара значений в уравнении добавляется первой, результат будет одинаковым.

Например, возьмите уравнение 2 + 3 + 5. Независимо от того, как сгруппированы значения, результат уравнения будет 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Как и с коммутативным свойством, примеры ассоциативных операций включают сложение и умножение действительных чисел, целых и рациональных чисел. Однако, в отличие от коммутативного свойства, ассоциативное свойство также может применяться к умножению матриц и составу функций.

Как и уравнения коммутативного свойства, уравнения ассоциативного свойства не могут содержать вычитание действительных чисел. Возьмем, к примеру, арифметическую задачу (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; если мы изменим группировку скобок, мы получим 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, что изменит окончательный результат уравнения.

Мы можем определить разницу между ассоциативным и коммутативным свойством, задав вопрос: «Меняем ли мы порядок элементы, или мы меняем группировку элементов? » Если элементы переупорядочиваются, то коммутативное свойство применяется. Если элементы только перегруппируются, применяется ассоциативное свойство.

Тем не менее, обратите внимание, что наличие только скобок не обязательно означает, что ассоциативное свойство применяется. Например:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Это уравнение является примером коммутативного свойства сложения вещественных чисел. Если мы внимательно посмотрим на уравнение, то увидим, что изменился только порядок элементов, а не группировка. Чтобы применить ассоциативное свойство, мы должны также изменить порядок элементов:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3